Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islindeps Structured version   Unicode version

Theorem islindeps 32536
 Description: The property of being a linearly dependent subset. (Contributed by AV, 26-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps.b
islindeps.z
islindeps.r Scalar
islindeps.e
islindeps.0
Assertion
Ref Expression
islindeps linDepS finSupp linC
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem islindeps
StepHypRef Expression
1 lindepsnlininds 32535 . . 3 linDepS linIndS
21ancoms 453 . 2 linDepS linIndS
3 islindeps.b . . . . . 6
4 islindeps.z . . . . . 6
5 islindeps.r . . . . . 6 Scalar
6 islindeps.e . . . . . 6
7 islindeps.0 . . . . . 6
83, 4, 5, 6, 7islininds 32529 . . . . 5 linIndS finSupp linC
98ancoms 453 . . . 4 linIndS finSupp linC
10 ibar 504 . . . . . 6 finSupp linC finSupp linC
1110bicomd 201 . . . . 5 finSupp linC finSupp linC
1211adantl 466 . . . 4 finSupp linC finSupp linC
139, 12bitrd 253 . . 3 linIndS finSupp linC
1413notbid 294 . 2 linIndS finSupp linC
15 rexnal 2915 . . . 4 finSupp linC finSupp linC
16 df-ne 2664 . . . . . . . . 9
1716rexbii 2969 . . . . . . . 8
18 rexnal 2915 . . . . . . . 8
1917, 18bitr2i 250 . . . . . . 7
2019anbi2i 694 . . . . . 6 finSupp linC finSupp linC
21 pm4.61 426 . . . . . 6 finSupp linC finSupp linC
22 df-3an 975 . . . . . 6 finSupp linC finSupp linC
2320, 21, 223bitr4i 277 . . . . 5 finSupp linC finSupp linC
2423rexbii 2969 . . . 4 finSupp linC finSupp linC
2515, 24bitr3i 251 . . 3 finSupp linC finSupp linC
2625a1i 11 . 2 finSupp linC finSupp linC
272, 14, 263bitrd 279 1 linDepS finSupp linC
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2817  wrex 2818  cpw 4016   class class class wbr 4453  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmap 7432   finSupp cfsupp 7841  cbs 14507  Scalarcsca 14575  c0g 14712   linC clinc 32487   linIndS clininds 32523   linDepS clindeps 32524 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6298  df-lininds 32525  df-lindeps 32527 This theorem is referenced by:  el0ldep  32549  ldepspr  32556  islindeps2  32566  isldepslvec2  32568  zlmodzxzldep  32587
 Copyright terms: Public domain W3C validator