MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islidl Structured version   Unicode version

Theorem islidl 17408
Description: Predicate of being a (left) ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islidl.s  |-  U  =  (LIdeal `  R )
islidl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
islidl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
islidl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
islidl  |-  ( I  e.  U  <->  ( I  C_  B  /\  I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  I  A. b  e.  I  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  I
) )
Distinct variable groups:    x, B    I, a, b, x    R, a, b, x
Allowed substitution hints:    B( a, b)    .+ ( x, a, b)    .x. ( x, a, b)    U( x, a, b)

Proof of Theorem islidl
StepHypRef Expression
1 rlmsca2 17397 . 2  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) )
2 baseid 14331 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
3 islidl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
42, 3strfvi 14325 . 2  |-  B  =  ( Base `  (  _I  `  R ) )
5 rlmbas 17391 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
63, 5eqtri 2480 . 2  |-  B  =  ( Base `  (ringLMod `  R ) )
7 islidl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
8 rlmplusg 17392 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
97, 8eqtri 2480 . 2  |-  .+  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
10 islidl.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
11 rlmvsca 17398 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .s `  (ringLMod `  R ) )
1210, 11eqtri 2480 . 2  |-  .x.  =  ( .s `  (ringLMod `  R
) )
13 islidl.s . . 3  |-  U  =  (LIdeal `  R )
14 lidlval 17388 . . 3  |-  (LIdeal `  R )  =  (
LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
1513, 14eqtri 2480 . 2  |-  U  =  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
161, 4, 6, 9, 12, 15islss 17131 1  |-  ( I  e.  U  <->  ( I  C_  B  /\  I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  I  A. b  e.  I  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  I
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795    C_ wss 3429   (/)c0 3738    _I cid 4732   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   ndxcnx 14282   Basecbs 14285   +g cplusg 14349   .rcmulr 14350   .scvsca 14353   LSubSpclss 17128  ringLModcrglmod 17365  LIdealclidl 17366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-lss 17129  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-lidl 17370
This theorem is referenced by:  hbtlem2  29621
  Copyright terms: Public domain W3C validator