MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islidl Structured version   Unicode version

Theorem islidl 17658
Description: Predicate of being a (left) ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islidl.s  |-  U  =  (LIdeal `  R )
islidl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
islidl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
islidl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
islidl  |-  ( I  e.  U  <->  ( I  C_  B  /\  I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  I  A. b  e.  I  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  I
) )
Distinct variable groups:    x, B    I, a, b, x    R, a, b, x
Allowed substitution hints:    B( a, b)    .+ ( x, a, b)    .x. ( x, a, b)    U( x, a, b)

Proof of Theorem islidl
StepHypRef Expression
1 rlmsca2 17647 . 2  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) )
2 baseid 14536 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
3 islidl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
42, 3strfvi 14530 . 2  |-  B  =  ( Base `  (  _I  `  R ) )
5 rlmbas 17641 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
63, 5eqtri 2496 . 2  |-  B  =  ( Base `  (ringLMod `  R ) )
7 islidl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
8 rlmplusg 17642 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
97, 8eqtri 2496 . 2  |-  .+  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
10 islidl.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
11 rlmvsca 17648 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .s `  (ringLMod `  R ) )
1210, 11eqtri 2496 . 2  |-  .x.  =  ( .s `  (ringLMod `  R
) )
13 islidl.s . . 3  |-  U  =  (LIdeal `  R )
14 lidlval 17638 . . 3  |-  (LIdeal `  R )  =  (
LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
1513, 14eqtri 2496 . 2  |-  U  =  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
161, 4, 6, 9, 12, 15islss 17381 1  |-  ( I  e.  U  <->  ( I  C_  B  /\  I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  I  A. b  e.  I  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  I
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814    C_ wss 3476   (/)c0 3785    _I cid 4790   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ndxcnx 14487   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556   .scvsca 14559   LSubSpclss 17378  ringLModcrglmod 17615  LIdealclidl 17616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-lss 17379  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-lidl 17620
This theorem is referenced by:  hbtlem2  30705
  Copyright terms: Public domain W3C validator