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Theorem islfl 32801
Description: The predicate "is a linear functional". (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflset.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflset.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lflset.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflset.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lflset.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflset.p  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
lflset.t  |-  .X.  =  ( .r `  D )
lflset.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
islfl  |-  ( W  e.  X  ->  ( G  e.  F  <->  ( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    K, r    x, y, V    x, r,
y, W    G, r, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, r)    .+ ( x, y, r)    .+^ (
x, y, r)    .x. ( x, y, r)    .X. ( x, y, r)    F( x, y, r)    K( x, y)    V( r)    X( x, y, r)

Proof of Theorem islfl
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflset.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lflset.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lflset.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
4 lflset.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 lflset.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
6 lflset.p . . . 4  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
7 lflset.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  D )
8 lflset.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lflset 32800 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  F  =  { f  e.  ( K  ^m  V )  |  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) ) } )
109eleq2d 2510 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( G  e.  F  <->  G  e.  { f  e.  ( K  ^m  V )  | 
A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) ) } ) )
11 fveq1 5711 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( G `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
) )
12 fveq1 5711 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  x )  =  ( G `  x ) )
1312oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  G  ->  (
r  .X.  ( f `  x ) )  =  ( r  .X.  ( G `  x )
) )
14 fveq1 5711 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  y )  =  ( G `  y ) )
1513, 14oveq12d 6130 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  (
( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) )
1611, 15eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( f  =  G  ->  (
( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) )  <->  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
17162ralbidv 2778 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
1817ralbidv 2756 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  ( A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) )  <->  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
1918elrab 3138 . . 3  |-  ( G  e.  { f  e.  ( K  ^m  V
)  |  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) ) }  <-> 
( G  e.  ( K  ^m  V )  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
20 fvex 5722 . . . . . 6  |-  ( Base `  D )  e.  _V
215, 20eqeltri 2513 . . . . 5  |-  K  e. 
_V
22 fvex 5722 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  e.  _V
231, 22eqeltri 2513 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
2421, 23elmap 7262 . . . 4  |-  ( G  e.  ( K  ^m  V )  <->  G : V
--> K )
2524anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( K  ^m  V )  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) )  <-> 
( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
2619, 25bitri 249 . 2  |-  ( G  e.  { f  e.  ( K  ^m  V
)  |  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) ) }  <-> 
( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
2710, 26syl6bb 261 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( G  e.  F  <->  ( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   {crab 2740   _Vcvv 2993   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    ^m cmap 7235   Basecbs 14195   +g cplusg 14259   .rcmulr 14260  Scalarcsca 14262   .scvsca 14263  LFnlclfn 32798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-map 7237  df-lfl 32799
This theorem is referenced by:  lfli  32802  islfld  32803  lflf  32804  lfl0f  32810  lfladdcl  32812  lflnegcl  32816  lshpkrcl  32857
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