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Theorem islfl 35182
Description: The predicate "is a linear functional". (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflset.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflset.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lflset.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflset.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lflset.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflset.p  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
lflset.t  |-  .X.  =  ( .r `  D )
lflset.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
islfl  |-  ( W  e.  X  ->  ( G  e.  F  <->  ( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    K, r    x, y, V    x, r,
y, W    G, r, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, r)    .+ ( x, y, r)    .+^ (
x, y, r)    .x. ( x, y, r)    .X. ( x, y, r)    F( x, y, r)    K( x, y)    V( r)    X( x, y, r)

Proof of Theorem islfl
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflset.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lflset.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lflset.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
4 lflset.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 lflset.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
6 lflset.p . . . 4  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
7 lflset.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  D )
8 lflset.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lflset 35181 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  F  =  { f  e.  ( K  ^m  V )  |  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) ) } )
109eleq2d 2524 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( G  e.  F  <->  G  e.  { f  e.  ( K  ^m  V )  | 
A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) ) } ) )
11 fveq1 5847 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( G `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
) )
12 fveq1 5847 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  x )  =  ( G `  x ) )
1312oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  G  ->  (
r  .X.  ( f `  x ) )  =  ( r  .X.  ( G `  x )
) )
14 fveq1 5847 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  y )  =  ( G `  y ) )
1513, 14oveq12d 6288 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  (
( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) )
1611, 15eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( f  =  G  ->  (
( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) )  <->  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
17162ralbidv 2898 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
1817ralbidv 2893 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  ( A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) )  <->  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
1918elrab 3254 . . 3  |-  ( G  e.  { f  e.  ( K  ^m  V
)  |  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) ) }  <-> 
( G  e.  ( K  ^m  V )  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
20 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( Base `  D )  e.  _V
215, 20eqeltri 2538 . . . . 5  |-  K  e. 
_V
22 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  e.  _V
231, 22eqeltri 2538 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
2421, 23elmap 7440 . . . 4  |-  ( G  e.  ( K  ^m  V )  <->  G : V
--> K )
2524anbi1i 693 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( K  ^m  V )  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) )  <-> 
( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
2619, 25bitri 249 . 2  |-  ( G  e.  { f  e.  ( K  ^m  V
)  |  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) ) }  <-> 
( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
2710, 26syl6bb 261 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( G  e.  F  <->  ( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   .rcmulr 14785  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788  LFnlclfn 35179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-map 7414  df-lfl 35180
This theorem is referenced by:  lfli  35183  islfld  35184  lflf  35185  lfl0f  35191  lfladdcl  35193  lflnegcl  35197  lshpkrcl  35238
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