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Theorem isldepslvec2 39929
Description: Alternative definition of being a linearly dependent subset of a (left) vector space. In this case, the reverse implication of islindeps2 39927 holds, so that both definitions are equivalent (see theorem 1.6 in [Roman] p. 46 and the note in [Roman] p. 112: if a nontrivial linear combination of elements (where not all of the coefficients are 0) in an R-vector space is 0, then and only then each of the elements is a linear combination of the others. (Contributed by AV, 30-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
islindeps2.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
islindeps2.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
islindeps2.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
islindeps2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
isldepslvec2  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  S linDepS  M ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s    f, E, s    f, M, s    R, f, s    S, f, s    f, Z, s    .0. , f, s

Proof of Theorem isldepslvec2
Dummy variables  g 
z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 18329 . . . 4  |-  ( M  e.  LVec  ->  M  e. 
LMod )
21adantr 466 . . 3  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B )  ->  M  e.  LMod )
3 simpr 462 . . 3  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B )  ->  S  e.  ~P B
)
4 islindeps2.r . . . . . 6  |-  R  =  (Scalar `  M )
54lvecdrng 18328 . . . . 5  |-  ( M  e.  LVec  ->  R  e.  DivRing )
6 drngnzr 18486 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e. NzRing )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( M  e.  LVec  ->  R  e. NzRing
)
87adantr 466 . . 3  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B )  ->  R  e. NzRing )
9 islindeps2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
10 islindeps2.z . . . 4  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
11 islindeps2.e . . . 4  |-  E  =  ( Base `  R
)
12 islindeps2.0 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
139, 10, 4, 11, 12islindeps2 39927 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  S linDepS  M ) )
142, 3, 8, 13syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  S linDepS  M ) )
159, 10, 4, 11, 12islindeps 39897 . . 3  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( S linDepS  M  <->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  (
g `  s )  =/=  .0.  ) ) )
16 df-3an 984 . . . . . . 7  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) )
17 r19.42v 2980 . . . . . . 7  |-  ( E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  <->  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) )
1816, 17bitr4i 255 . . . . . 6  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
1918rexbii 2924 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
20 rexcom 2987 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  <->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z )  /\  (
g `  s )  =/=  .0.  ) )
2119, 20bitri 252 . . . 4  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
22 simplr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B
)  /\  s  e.  S )  ->  S  e.  ~P B )
231ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B
)  /\  s  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
24 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B
)  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  S )
2522, 23, 243jca 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B
)  /\  s  e.  S )  ->  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  s  e.  S ) )
2625ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  s  e.  S ) )
27 simplr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  g  e.  ( E  ^m  S ) )
28 elmapi 7505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( E  ^m  S )  ->  g : S --> E )
29 ffvelrn 6036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : S --> E  /\  s  e.  S )  ->  ( g `  s
)  e.  E )
3028, 24, 29syl2anr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
LVec  /\  S  e.  ~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S
) )  ->  (
g `  s )  e.  E )
31 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  ->  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
3230, 31anim12i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( (
g `  s )  e.  E  /\  (
g `  s )  =/=  .0.  ) )
335ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B
)  /\  s  e.  S )  ->  R  e.  DivRing )
3433ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  R  e.  DivRing )
35 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
3611, 35, 12drngunit 17980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( ( g `
 s )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( g `  s
)  e.  E  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) )
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( (
g `  s )  e.  (Unit `  R )  <->  ( ( g `  s
)  e.  E  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) )
3832, 37mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( g `  s )  e.  (Unit `  R ) )
39 simpll 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  ->  g finSupp  .0.  )
4039adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  g finSupp  .0.  )
41 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
42 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
43 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
44 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( S  \  { s } ) 
|->  ( ( ( invr `  R ) `  (
( invg `  R ) `  (
g `  s )
) ) ( .r
`  R ) ( g `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( S 
\  { s } )  |->  ( ( (
invr `  R ) `  ( ( invg `  R ) `  (
g `  s )
) ) ( .r
`  R ) ( g `  z ) ) )
459, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44lincresunit2 39922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  s  e.  S )  /\  ( g  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( g `  s )  e.  (Unit `  R )  /\  g finSupp  .0.  ) )  ->  (
z  e.  ( S 
\  { s } )  |->  ( ( (
invr `  R ) `  ( ( invg `  R ) `  (
g `  s )
) ) ( .r
`  R ) ( g `  z ) ) ) finSupp  .0.  )
4626, 27, 38, 40, 45syl13anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( z  e.  ( S  \  {
s } )  |->  ( ( ( invr `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 ( g `  s ) ) ) ( .r `  R
) ( g `  z ) ) ) finSupp  .0.  )
47 simpll 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B
)  /\  s  e.  S )  ->  M  e.  LVec )
4822, 47, 243jca 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B
)  /\  s  e.  S )  ->  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LVec  /\  s  e.  S ) )
4948ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LVec  /\  s  e.  S ) )
50 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( g `  s )  =/=  .0.  )
51 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  ->  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )
5251adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( g
( linC  `  M ) S )  =  Z )
53 fveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
g `  z )  =  ( g `  y ) )
5453oveq2d 6322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( invr `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 ( g `  s ) ) ) ( .r `  R
) ( g `  z ) )  =  ( ( ( invr `  R ) `  (
( invg `  R ) `  (
g `  s )
) ) ( .r
`  R ) ( g `  y ) ) )
5554cbvmptv 4516 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( S  \  { s } ) 
|->  ( ( ( invr `  R ) `  (
( invg `  R ) `  (
g `  s )
) ) ( .r
`  R ) ( g `  z ) ) )  =  ( y  e.  ( S 
\  { s } )  |->  ( ( (
invr `  R ) `  ( ( invg `  R ) `  (
g `  s )
) ) ( .r
`  R ) ( g `  y ) ) )
569, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 55lincreslvec3 39926 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LVec  /\  s  e.  S )  /\  ( g  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( g `  s )  =/=  .0.  /\  g finSupp  .0.  )  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  -> 
( ( z  e.  ( S  \  {
s } )  |->  ( ( ( invr `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 ( g `  s ) ) ) ( .r `  R
) ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  =  s )
5749, 27, 50, 40, 52, 56syl131anc 1277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( (
z  e.  ( S 
\  { s } )  |->  ( ( (
invr `  R ) `  ( ( invg `  R ) `  (
g `  s )
) ) ( .r
`  R ) ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )
589, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44lincresunit1 39921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  s  e.  S )  /\  ( g  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( g `  s )  e.  (Unit `  R ) ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  {
s } )  |->  ( ( ( invr `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 ( g `  s ) ) ) ( .r `  R
) ( g `  z ) ) )  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )
5926, 27, 38, 58syl12anc 1262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( z  e.  ( S  \  {
s } )  |->  ( ( ( invr `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 ( g `  s ) ) ) ( .r `  R
) ( g `  z ) ) )  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )
60 breq1 4426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( z  e.  ( S  \  {
s } )  |->  ( ( ( invr `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 ( g `  s ) ) ) ( .r `  R
) ( g `  z ) ) )  ->  ( f finSupp  .0.  <->  (
z  e.  ( S 
\  { s } )  |->  ( ( (
invr `  R ) `  ( ( invg `  R ) `  (
g `  s )
) ) ( .r
`  R ) ( g `  z ) ) ) finSupp  .0.  )
)
61 oveq1 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( z  e.  ( S  \  {
s } )  |->  ( ( ( invr `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 ( g `  s ) ) ) ( .r `  R
) ( g `  z ) ) )  ->  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  ( ( z  e.  ( S  \  { s } )  |->  ( ( ( invr `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 ( g `  s ) ) ) ( .r `  R
) ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )
6261eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( z  e.  ( S  \  {
s } )  |->  ( ( ( invr `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 ( g `  s ) ) ) ( .r `  R
) ( g `  z ) ) )  ->  ( ( f ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  =  s  <->  ( (
z  e.  ( S 
\  { s } )  |->  ( ( (
invr `  R ) `  ( ( invg `  R ) `  (
g `  s )
) ) ( .r
`  R ) ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )
6360, 62anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( z  e.  ( S  \  {
s } )  |->  ( ( ( invr `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 ( g `  s ) ) ) ( .r `  R
) ( g `  z ) ) )  ->  ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  ( ( z  e.  ( S  \  { s } ) 
|->  ( ( ( invr `  R ) `  (
( invg `  R ) `  (
g `  s )
) ) ( .r
`  R ) ( g `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  ( S  \  {
s } )  |->  ( ( ( invr `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 ( g `  s ) ) ) ( .r `  R
) ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  =  s ) ) )
6463adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  /\  f  =  ( z  e.  ( S  \  { s } )  |->  ( ( ( invr `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 ( g `  s ) ) ) ( .r `  R
) ( g `  z ) ) ) )  ->  ( (
f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  =  s )  <->  ( (
z  e.  ( S 
\  { s } )  |->  ( ( (
invr `  R ) `  ( ( invg `  R ) `  (
g `  s )
) ) ( .r
`  R ) ( g `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  ( S  \  {
s } )  |->  ( ( ( invr `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 ( g `  s ) ) ) ( .r `  R
) ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  =  s ) ) )
6559, 64rspcedv 3186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( (
( z  e.  ( S  \  { s } )  |->  ( ( ( invr `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 ( g `  s ) ) ) ( .r `  R
) ( g `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  ( S  \  { s } ) 
|->  ( ( ( invr `  R ) `  (
( invg `  R ) `  (
g `  s )
) ) ( .r
`  R ) ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) ) )
6646, 57, 65mp2and 683 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e. 
~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S ) )  /\  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)  ->  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )
6766ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LVec  /\  S  e.  ~P B )  /\  s  e.  S )  /\  g  e.  ( E  ^m  S
) )  ->  (
( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  ->  E. f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) ) )
6867rexlimdva 2914 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B
)  /\  s  e.  S )  ->  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  ->  E. f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) ) )
6968reximdva 2897 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  ->  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) ) )
7021, 69syl5bi 220 . . 3  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  (
g `  s )  =/=  .0.  )  ->  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) ) )
7115, 70sylbid 218 . 2  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( S linDepS  M  ->  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) ) )
7214, 71impbid 193 1  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  S linDepS  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   E.wrex 2772    \ cdif 3433   ~Pcpw 3981   {csn 3998   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    ^m cmap 7484   finSupp cfsupp 7893   Basecbs 15121   .rcmulr 15191  Scalarcsca 15193   0gc0g 15338   invgcminusg 16670  Unitcui 17867   invrcinvr 17899   DivRingcdr 17975   LModclmod 18091   LVecclvec 18325  NzRingcnzr 18481   linC clinc 39848   linDepS clindeps 39885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-tpos 6985  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-oi 8035  df-card 8382  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-seq 12221  df-hash 12523  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mulg 16676  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lvec 18326  df-nzr 18482  df-linc 39850  df-lininds 39886  df-lindeps 39888
This theorem is referenced by:  ldepslinc  39953
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