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Theorem islbs3 17248
Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islbs2.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
islbs2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
islbs3  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) ) )
Distinct variable groups:    B, s    N, s    V, s    W, s    J, s

Proof of Theorem islbs3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 islbs2.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
31, 2lbsss 17170 . . . 4  |-  ( B  e.  J  ->  B  C_  V )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  B  C_  V )
5 islbs2.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
61, 2, 5lbssp 17172 . . . 4  |-  ( B  e.  J  ->  ( N `  B )  =  V )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  ( N `  B )  =  V )
8 lveclmod 17199 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
983ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  W  e.  LMod )
10 pssss 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( s 
C.  B  ->  s  C_  B )
1110, 3sylan9ssr 3382 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  J  /\  s  C.  B )  -> 
s  C_  V )
12113adant1 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  s  C_  V )
131, 5lspssv 17076 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  C_  V )  ->  ( N `  s )  C_  V )
149, 12, 13syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  ( N `  s )  C_  V )
15 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
1615lvecdrng 17198 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
17 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
18 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
1917, 18drngunz 16859 . . . . . . . . 9  |-  ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
2016, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
218, 20jca 532 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) ) )
222, 5, 15, 18, 17, 1lbspss 17175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  ( N `  s )  =/=  V
)
2321, 22syl3an1 1251 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  ( N `  s )  =/=  V )
24 df-pss 3356 . . . . . 6  |-  ( ( N `  s ) 
C.  V  <->  ( ( N `  s )  C_  V  /\  ( N `
 s )  =/= 
V ) )
2514, 23, 24sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  ( N `  s )  C.  V )
26253expia 1189 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  (
s  C.  B  ->  ( N `  s ) 
C.  V ) )
2726alrimiv 1685 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
)
284, 7, 273jca 1168 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )
29 simpr1 994 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  B  C_  V )
30 simpr2 995 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  ( N `  B )  =  V )
31 simplr1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  B  C_  V )
3231ssdifssd 3506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  C_  V )
33 fvex 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
341, 33eqeltri 2513 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
35 ssexg 4450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  \  {
x } )  C_  V  /\  V  e.  _V )  ->  ( B  \  { x } )  e.  _V )
3632, 34, 35sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  e. 
_V )
37 simplr3 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  A. s ( s 
C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V ) )
38 difssd 3496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  C_  B )
39 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
40 neldifsn 4014 . . . . . . . . . 10  |-  -.  x  e.  ( B  \  {
x } )
41 nelne1 2713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  ( B  \  { x }
) )  ->  B  =/=  ( B  \  {
x } ) )
4239, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  B  =/=  ( B 
\  { x }
) )
4342necomd 2707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  =/= 
B )
44 df-pss 3356 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  { x } )  C.  B  <->  ( ( B  \  {
x } )  C_  B  /\  ( B  \  { x } )  =/=  B ) )
4538, 43, 44sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  C.  B )
46 psseq1 3455 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( B  \  { x } )  ->  ( s  C.  B 
<->  ( B  \  {
x } )  C.  B ) )
47 fveq2 5703 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( B  \  { x } )  ->  ( N `  s )  =  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
4847psseq1d 3460 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( B  \  { x } )  ->  ( ( N `
 s )  C.  V 
<->  ( N `  ( B  \  { x }
) )  C.  V
) )
4946, 48imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( B  \  { x } )  ->  ( ( s 
C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V )  <->  ( ( B  \  { x }
)  C.  B  ->  ( N `  ( B 
\  { x }
) )  C.  V
) ) )
5049spcgv 3069 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  { x } )  e.  _V  ->  ( A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s ) 
C.  V )  -> 
( ( B  \  { x } ) 
C.  B  ->  ( N `  ( B  \  { x } ) )  C.  V )
) )
5136, 37, 45, 50syl3c 61 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( N `  ( B  \  { x }
) )  C.  V
)
52 dfpss3 3454 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( B 
\  { x }
) )  C.  V  <->  ( ( N `  ( B  \  { x }
) )  C_  V  /\  -.  V  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )
5352simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( ( N `  ( B 
\  { x }
) )  C.  V  ->  -.  V  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) )
5451, 53syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  -.  V  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) )
55 simplr2 1031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( N `  B
)  =  V )
568ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
5732adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( B  \  {
x } )  C_  V )
58 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
591, 58, 5lspcl 17069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( B  \  { x }
)  C_  V )  ->  ( N `  ( B  \  { x }
) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
6056, 57, 59syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( N `  ( B  \  { x }
) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
61 ssun1 3531 . . . . . . . . . 10  |-  B  C_  ( B  u.  { x } )
62 undif1 3766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  \  { x } )  u.  {
x } )  =  ( B  u.  {
x } )
6361, 62sseqtr4i 3401 . . . . . . . . 9  |-  B  C_  ( ( B  \  { x } )  u.  { x }
)
641, 5lspssid 17078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( B  \  { x }
)  C_  V )  ->  ( B  \  {
x } )  C_  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
6556, 57, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( B  \  {
x } )  C_  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
66 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) )
6766snssd 4030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  { x }  C_  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
6865, 67unssd 3544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( ( B  \  { x } )  u.  { x }
)  C_  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) )
6963, 68syl5ss 3379 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  B  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) )
7058, 5lspssp 17081 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( B  \  { x } ) )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  B  C_  ( N `  ( B  \  { x }
) ) )  -> 
( N `  B
)  C_  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) )
7156, 60, 69, 70syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( N `  B
)  C_  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) )
7255, 71eqsstr3d 3403 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  V  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) )
7372expr 615 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) )  ->  V  C_  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
7454, 73mtod 177 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
7574ralrimiva 2811 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) )
761, 2, 5islbs2 17247 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
7776adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
7829, 30, 75, 77mpbir3and 1171 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  B  e.  J )
7928, 78impbida 828 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   _Vcvv 2984    \ cdif 3337    u. cun 3338    C_ wss 3340    C. wpss 3341   {csn 3889   ` cfv 5430   Basecbs 14186  Scalarcsca 14253   0gc0g 14390   1rcur 16615   DivRingcdr 16844   LModclmod 16960   LSubSpclss 17025   LSpanclspn 17064  LBasisclbs 17167   LVecclvec 17195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-tpos 6757  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-invr 16776  df-drng 16846  df-lmod 16962  df-lss 17026  df-lsp 17065  df-lbs 17168  df-lvec 17196
This theorem is referenced by:  obslbs  18167
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