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Theorem islbs2 17671
Description: An equivalent formulation of the basis predicate in a vector space: a subset is a basis iff no element is in the span of the rest of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islbs2.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
islbs2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
islbs2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, N    x, V    x, W    x, J

Proof of Theorem islbs2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 islbs2.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
31, 2lbsss 17594 . . . 4  |-  ( B  e.  J  ->  B  C_  V )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  B  C_  V )
5 islbs2.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
61, 2, 5lbssp 17596 . . . 4  |-  ( B  e.  J  ->  ( N `  B )  =  V )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  ( N `  B )  =  V )
8 lveclmod 17623 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
9 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
109lvecdrng 17622 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
11 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
12 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
1311, 12drngunz 17282 . . . . . . . 8  |-  ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
1410, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
158, 14jca 532 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) ) )
162, 5, 9, 12, 11lbsind2 17598 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  B  e.  J  /\  x  e.  B
)  ->  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) )
1715, 16syl3an1 1261 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) )
18173expa 1196 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  /\  x  e.  B
)  ->  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) )
1918ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) )
204, 7, 193jca 1176 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
21 simpr1 1002 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  ->  B  C_  V
)
22 simpr2 1003 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  ->  ( N `  B )  =  V )
23 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
y  e.  B )
24 simplr3 1040 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) )
25 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
26 sneq 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
2726difeq2d 3627 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( B  \  { x }
)  =  ( B 
\  { y } ) )
2827fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( N `  ( B  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( B  \  { y } ) ) )
2925, 28eleq12d 2549 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( N `
 ( B  \  { x } ) )  <->  y  e.  ( N `  ( B 
\  { y } ) ) ) )
3029notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) )  <->  -.  y  e.  ( N `  ( B 
\  { y } ) ) ) )
3130rspcv 3215 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  ->  ( A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) )  ->  -.  y  e.  ( N `  ( B  \  { y } ) ) ) )
3223, 24, 31sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  y  e.  ( N `  ( B  \  { y } ) ) )
33 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  W  e.  LVec )
34 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
z  e.  ( (
Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
35 eldifsn 4158 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  <-> 
( z  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  z  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
3634, 35sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( z  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  z  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
3721adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  B  C_  V )
3837, 23sseldd 3510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
y  e.  V )
39 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
40 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
411, 9, 39, 40, 11, 5lspsnvs 17631 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  (
z  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  z  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  y  e.  V
)  ->  ( N `  { ( z ( .s `  W ) y ) } )  =  ( N `  { y } ) )
4233, 36, 38, 41syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( N `  {
( z ( .s
`  W ) y ) } )  =  ( N `  {
y } ) )
4342sseq1d 3536 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( ( N `  { ( z ( .s `  W ) y ) } ) 
C_  ( N `  ( B  \  { y } ) )  <->  ( N `  { y } ) 
C_  ( N `  ( B  \  { y } ) ) ) )
44 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
458adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
4645adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  W  e.  LMod )
4737ssdifssd 3647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( B  \  {
y } )  C_  V )
481, 44, 5lspcl 17493 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( B  \  { y } )  C_  V )  ->  ( N `  ( B  \  { y } ) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
4946, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( N `  ( B  \  { y } ) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
5036simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
511, 9, 39, 40lmodvscl 17400 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( z ( .s
`  W ) y )  e.  V )
5246, 50, 38, 51syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( z ( .s
`  W ) y )  e.  V )
531, 44, 5, 46, 49, 52lspsnel5 17512 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( ( z ( .s `  W ) y )  e.  ( N `  ( B 
\  { y } ) )  <->  ( N `  { ( z ( .s `  W ) y ) } ) 
C_  ( N `  ( B  \  { y } ) ) ) )
541, 44, 5, 46, 49, 38lspsnel5 17512 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( y  e.  ( N `  ( B 
\  { y } ) )  <->  ( N `  { y } ) 
C_  ( N `  ( B  \  { y } ) ) ) )
5543, 53, 543bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( ( z ( .s `  W ) y )  e.  ( N `  ( B 
\  { y } ) )  <->  y  e.  ( N `  ( B 
\  { y } ) ) ) )
5632, 55mtbird 301 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( z ( .s
`  W ) y )  e.  ( N `
 ( B  \  { y } ) ) )
5756ralrimivva 2888 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  (
( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( z ( .s `  W
) y )  e.  ( N `  ( B  \  { y } ) ) )
581, 9, 39, 40, 2, 5, 11islbs 17593 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
z ( .s `  W ) y )  e.  ( N `  ( B  \  { y } ) ) ) ) )
5958adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
z ( .s `  W ) y )  e.  ( N `  ( B  \  { y } ) ) ) ) )
6021, 22, 57, 59mpbir3and 1179 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  ->  B  e.  J
)
6120, 60impbida 830 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4033   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712   1rcur 17025   DivRingcdr 17267   LModclmod 17383   LSubSpclss 17449   LSpanclspn 17488  LBasisclbs 17591   LVecclvec 17619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lbs 17592  df-lvec 17620
This theorem is referenced by:  islbs3  17672  lbsacsbs  17673  lbsextlem4  17678
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