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Theorem islbs2 17234
Description: An equivalent formulation of the basis predicate in a vector space: a subset is a basis iff no element is in the span of the rest of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islbs2.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
islbs2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
islbs2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, N    x, V    x, W    x, J

Proof of Theorem islbs2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 islbs2.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
31, 2lbsss 17157 . . . 4  |-  ( B  e.  J  ->  B  C_  V )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  B  C_  V )
5 islbs2.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
61, 2, 5lbssp 17159 . . . 4  |-  ( B  e.  J  ->  ( N `  B )  =  V )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  ( N `  B )  =  V )
8 lveclmod 17186 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
9 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
109lvecdrng 17185 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
11 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
12 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
1311, 12drngunz 16846 . . . . . . . 8  |-  ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
1410, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
158, 14jca 532 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) ) )
162, 5, 9, 12, 11lbsind2 17161 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  B  e.  J  /\  x  e.  B
)  ->  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) )
1715, 16syl3an1 1251 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) )
18173expa 1187 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  /\  x  e.  B
)  ->  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) )
1918ralrimiva 2798 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) )
204, 7, 193jca 1168 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
21 simpr1 994 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  ->  B  C_  V
)
22 simpr2 995 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  ->  ( N `  B )  =  V )
23 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
y  e.  B )
24 simplr3 1032 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) )
25 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
26 sneq 3886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
2726difeq2d 3473 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( B  \  { x }
)  =  ( B 
\  { y } ) )
2827fveq2d 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( N `  ( B  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( B  \  { y } ) ) )
2925, 28eleq12d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( N `
 ( B  \  { x } ) )  <->  y  e.  ( N `  ( B 
\  { y } ) ) ) )
3029notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) )  <->  -.  y  e.  ( N `  ( B 
\  { y } ) ) ) )
3130rspcv 3068 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  ->  ( A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) )  ->  -.  y  e.  ( N `  ( B  \  { y } ) ) ) )
3223, 24, 31sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  y  e.  ( N `  ( B  \  { y } ) ) )
33 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  W  e.  LVec )
34 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
z  e.  ( (
Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
35 eldifsn 3999 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  <-> 
( z  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  z  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
3634, 35sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( z  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  z  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
3721adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  B  C_  V )
3837, 23sseldd 3356 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
y  e.  V )
39 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
40 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
411, 9, 39, 40, 11, 5lspsnvs 17194 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  (
z  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  z  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  y  e.  V
)  ->  ( N `  { ( z ( .s `  W ) y ) } )  =  ( N `  { y } ) )
4233, 36, 38, 41syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( N `  {
( z ( .s
`  W ) y ) } )  =  ( N `  {
y } ) )
4342sseq1d 3382 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( ( N `  { ( z ( .s `  W ) y ) } ) 
C_  ( N `  ( B  \  { y } ) )  <->  ( N `  { y } ) 
C_  ( N `  ( B  \  { y } ) ) ) )
44 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
458adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
4645adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  W  e.  LMod )
4737ssdifssd 3493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( B  \  {
y } )  C_  V )
481, 44, 5lspcl 17056 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( B  \  { y } )  C_  V )  ->  ( N `  ( B  \  { y } ) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
4946, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( N `  ( B  \  { y } ) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
5036simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
511, 9, 39, 40lmodvscl 16964 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( z ( .s
`  W ) y )  e.  V )
5246, 50, 38, 51syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( z ( .s
`  W ) y )  e.  V )
531, 44, 5, 46, 49, 52lspsnel5 17075 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( ( z ( .s `  W ) y )  e.  ( N `  ( B 
\  { y } ) )  <->  ( N `  { ( z ( .s `  W ) y ) } ) 
C_  ( N `  ( B  \  { y } ) ) ) )
541, 44, 5, 46, 49, 38lspsnel5 17075 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( y  e.  ( N `  ( B 
\  { y } ) )  <->  ( N `  { y } ) 
C_  ( N `  ( B  \  { y } ) ) ) )
5543, 53, 543bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  -> 
( ( z ( .s `  W ) y )  e.  ( N `  ( B 
\  { y } ) )  <->  y  e.  ( N `  ( B 
\  { y } ) ) ) )
5632, 55mtbird 301 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) ) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( z ( .s
`  W ) y )  e.  ( N `
 ( B  \  { y } ) ) )
5756ralrimivva 2807 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  (
( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( z ( .s `  W
) y )  e.  ( N `  ( B  \  { y } ) ) )
581, 9, 39, 40, 2, 5, 11islbs 17156 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
z ( .s `  W ) y )  e.  ( N `  ( B  \  { y } ) ) ) ) )
5958adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
z ( .s `  W ) y )  e.  ( N `  ( B  \  { y } ) ) ) ) )
6021, 22, 57, 59mpbir3and 1171 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  ->  B  e.  J
)
6120, 60impbida 828 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714    \ cdif 3324    C_ wss 3327   {csn 3876   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Basecbs 14173  Scalarcsca 14240   .scvsca 14241   0gc0g 14377   1rcur 16602   DivRingcdr 16831   LModclmod 16947   LSubSpclss 17012   LSpanclspn 17051  LBasisclbs 17154   LVecclvec 17182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-oppr 16714  df-dvdsr 16732  df-unit 16733  df-invr 16763  df-drng 16833  df-lmod 16949  df-lss 17013  df-lsp 17052  df-lbs 17155  df-lvec 17183
This theorem is referenced by:  islbs3  17235  lbsacsbs  17236  lbsextlem4  17241
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