MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islbs Structured version   Unicode version

Theorem islbs 17502
Description: The predicate " B is a basis for the left module or vector space  W". A subset of the base set is a basis if zero is not in the set, it spans the set, and no nonzero multiple of an element of the basis is in the span of the rest of the family. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islbs.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
islbs.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islbs.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
islbs.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
islbs.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
islbs.z  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
Assertion
Ref Expression
islbs  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    y, K    x, N, y    x, W, y    x, F, y    y,  .0.
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    J( x, y)    K( x)    V( x, y)    X( x, y)    .0. ( x)

Proof of Theorem islbs
Dummy variables  b 
f  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3122 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  W  e.  _V )
2 islbs.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
3 fveq2 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  W
) )
4 islbs.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
53, 4syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  V )
65pweqd 4015 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ~P ( Base `  w )  =  ~P V )
7 fvex 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  w )  e.  _V
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  e. 
_V )
9 fveq2 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  =  ( LSpan `  W )
)
10 islbs.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
119, 10syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  =  N )
12 fvex 5874 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  w )  e.  _V
1312a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  e.  _V )
14 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  (Scalar `  w )  =  (Scalar `  W ) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  =  (Scalar `  W )
)
16 islbs.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  (Scalar `  W )
1715, 16syl6eqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  =  F )
18 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  n  =  N )
1918fveq1d 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
n `  b )  =  ( N `  b ) )
205ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  w )  =  V )
2119, 20eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( n `  b
)  =  ( Base `  w )  <->  ( N `  b )  =  V ) )
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
2322fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  F
) )
24 islbs.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( Base `  F
)
2523, 24syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f )  =  K )
2622fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( 0g `  f )  =  ( 0g `  F
) )
27 islbs.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
2826, 27syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( 0g `  f )  =  .0.  )
2928sneqd 4039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  { ( 0g `  f ) }  =  {  .0.  } )
3025, 29difeq12d 3623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  =  ( K  \  {  .0.  } ) )
31 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  W  ->  ( .s `  w )  =  ( .s `  W
) )
32 islbs.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  ( .s `  W )
3331, 32syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  W  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
3534oveqd 6299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
y ( .s `  w ) x )  =  ( y  .x.  x ) )
3618fveq1d 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
n `  ( b  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( b  \  { x } ) ) )
3735, 36eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( y ( .s
`  w ) x )  e.  ( n `
 ( b  \  { x } ) )  <->  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) )
3837notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( -.  ( y ( .s
`  w ) x )  e.  ( n `
 ( b  \  { x } ) )  <->  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) )
3930, 38raleqbidv 3072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) )  <->  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) )
4039ralbidv 2903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) )  <->  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) )
4121, 40anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
4213, 17, 41sbcied2 3369 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  ( [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
438, 11, 42sbcied2 3369 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( [. ( LSpan `  w )  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
446, 43rabeqbidv 3108 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  { b  e.  ~P ( Base `  w )  |  [. ( LSpan `  w )  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) ) }  =  { b  e.  ~P V  | 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
45 df-lbs 17501 . . . . . 6  |- LBasis  =  ( w  e.  _V  |->  { b  e.  ~P ( Base `  w )  | 
[. ( LSpan `  w
)  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. (
( n `  b
)  =  ( Base `  w )  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( ( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) ) ) } )
46 fvex 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
474, 46eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
4847pwex 4630 . . . . . . 7  |-  ~P V  e.  _V
4948rabex 4598 . . . . . 6  |-  { b  e.  ~P V  | 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) }  e.  _V
5044, 45, 49fvmpt 5948 . . . . 5  |-  ( W  e.  _V  ->  (LBasis `  W )  =  {
b  e.  ~P V  |  ( ( N `
 b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
512, 50syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  J  =  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
521, 51syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  J  =  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
5352eleq2d 2537 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  B  e.  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `
 b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } ) )
5447elpw2 4611 . . . 4  |-  ( B  e.  ~P V  <->  B  C_  V
)
5554anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( B  e.  ~P V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  <-> 
( B  C_  V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
56 fveq2 5864 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( N `  b )  =  ( N `  B ) )
5756eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( N `  b
)  =  V  <->  ( N `  B )  =  V ) )
58 difeq1 3615 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
b  \  { x } )  =  ( B  \  { x } ) )
5958fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( N `  ( b  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( B  \  { x } ) ) )
6059eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( y  .x.  x
)  e.  ( N `
 ( b  \  { x } ) )  <->  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6160notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( -.  ( y  .x.  x
)  e.  ( N `
 ( b  \  { x } ) )  <->  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6261ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  ( K  \  {  .0.  }
)  -.  ( y 
.x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) )  <->  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
6362raleqbi1dv 3066 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  }
)  -.  ( y 
.x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
6457, 63anbi12d 710 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
6564elrab 3261 . . 3  |-  ( B  e.  { b  e. 
~P V  |  ( ( N `  b
)  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) }  <-> 
( B  e.  ~P V  /\  ( ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
66 3anass 977 . . 3  |-  ( ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )  <->  ( B  C_  V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) ) )
6755, 65, 663bitr4i 277 . 2  |-  ( B  e.  { b  e. 
~P V  |  ( ( N `  b
)  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) }  <-> 
( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6853, 67syl6bb 261 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   [.wsbc 3331    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14483  Scalarcsca 14551   .scvsca 14552   0gc0g 14688   LSpanclspn 17397  LBasisclbs 17500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-ov 6285  df-lbs 17501
This theorem is referenced by:  lbsss  17503  lbssp  17505  lbsind  17506  lbspropd  17525  islbs2  17580  frlmlbs  18595  islbs4  18631
  Copyright terms: Public domain W3C validator