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Theorem islbs 17157
Description: The predicate " B is a basis for the left module or vector space  W". A subset of the base set is a basis if zero is not in the set, it spans the set, and no nonzero multiple of an element of the basis is in the span of the rest of the family. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islbs.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
islbs.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islbs.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
islbs.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
islbs.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
islbs.z  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
Assertion
Ref Expression
islbs  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    y, K    x, N, y    x, W, y    x, F, y    y,  .0.
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    J( x, y)    K( x)    V( x, y)    X( x, y)    .0. ( x)

Proof of Theorem islbs
Dummy variables  b 
f  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2981 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  W  e.  _V )
2 islbs.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
3 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  W
) )
4 islbs.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
53, 4syl6eqr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  V )
65pweqd 3865 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ~P ( Base `  w )  =  ~P V )
7 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  w )  e.  _V
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  e. 
_V )
9 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  =  ( LSpan `  W )
)
10 islbs.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
119, 10syl6eqr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  =  N )
12 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  w )  e.  _V
1312a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  e.  _V )
14 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  (Scalar `  w )  =  (Scalar `  W ) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  =  (Scalar `  W )
)
16 islbs.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  (Scalar `  W )
1715, 16syl6eqr 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  =  F )
18 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  n  =  N )
1918fveq1d 5693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
n `  b )  =  ( N `  b ) )
205ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  w )  =  V )
2119, 20eqeq12d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( n `  b
)  =  ( Base `  w )  <->  ( N `  b )  =  V ) )
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
2322fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  F
) )
24 islbs.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( Base `  F
)
2523, 24syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f )  =  K )
2622fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( 0g `  f )  =  ( 0g `  F
) )
27 islbs.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
2826, 27syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( 0g `  f )  =  .0.  )
2928sneqd 3889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  { ( 0g `  f ) }  =  {  .0.  } )
3025, 29difeq12d 3475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  =  ( K  \  {  .0.  } ) )
31 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  W  ->  ( .s `  w )  =  ( .s `  W
) )
32 islbs.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  ( .s `  W )
3331, 32syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  W  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
3534oveqd 6108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
y ( .s `  w ) x )  =  ( y  .x.  x ) )
3618fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
n `  ( b  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( b  \  { x } ) ) )
3735, 36eleq12d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( y ( .s
`  w ) x )  e.  ( n `
 ( b  \  { x } ) )  <->  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) )
3837notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( -.  ( y ( .s
`  w ) x )  e.  ( n `
 ( b  \  { x } ) )  <->  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) )
3930, 38raleqbidv 2931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) )  <->  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) )
4039ralbidv 2735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) )  <->  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) )
4121, 40anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
4213, 17, 41sbcied2 3224 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  ( [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
438, 11, 42sbcied2 3224 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( [. ( LSpan `  w )  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
446, 43rabeqbidv 2967 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  { b  e.  ~P ( Base `  w )  |  [. ( LSpan `  w )  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) ) }  =  { b  e.  ~P V  | 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
45 df-lbs 17156 . . . . . 6  |- LBasis  =  ( w  e.  _V  |->  { b  e.  ~P ( Base `  w )  | 
[. ( LSpan `  w
)  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. (
( n `  b
)  =  ( Base `  w )  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( ( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) ) ) } )
46 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
474, 46eqeltri 2513 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
4847pwex 4475 . . . . . . 7  |-  ~P V  e.  _V
4948rabex 4443 . . . . . 6  |-  { b  e.  ~P V  | 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) }  e.  _V
5044, 45, 49fvmpt 5774 . . . . 5  |-  ( W  e.  _V  ->  (LBasis `  W )  =  {
b  e.  ~P V  |  ( ( N `
 b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
512, 50syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  J  =  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
521, 51syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  J  =  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
5352eleq2d 2510 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  B  e.  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `
 b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } ) )
5447elpw2 4456 . . . 4  |-  ( B  e.  ~P V  <->  B  C_  V
)
5554anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( B  e.  ~P V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  <-> 
( B  C_  V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
56 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( N `  b )  =  ( N `  B ) )
5756eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( N `  b
)  =  V  <->  ( N `  B )  =  V ) )
58 difeq1 3467 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
b  \  { x } )  =  ( B  \  { x } ) )
5958fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( N `  ( b  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( B  \  { x } ) ) )
6059eleq2d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( y  .x.  x
)  e.  ( N `
 ( b  \  { x } ) )  <->  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6160notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( -.  ( y  .x.  x
)  e.  ( N `
 ( b  \  { x } ) )  <->  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6261ralbidv 2735 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  ( K  \  {  .0.  }
)  -.  ( y 
.x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) )  <->  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
6362raleqbi1dv 2925 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  }
)  -.  ( y 
.x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
6457, 63anbi12d 710 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
6564elrab 3117 . . 3  |-  ( B  e.  { b  e. 
~P V  |  ( ( N `  b
)  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) }  <-> 
( B  e.  ~P V  /\  ( ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
66 3anass 969 . . 3  |-  ( ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )  <->  ( B  C_  V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) ) )
6755, 65, 663bitr4i 277 . 2  |-  ( B  e.  { b  e. 
~P V  |  ( ( N `  b
)  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) }  <-> 
( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6853, 67syl6bb 261 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972   [.wsbc 3186    \ cdif 3325    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   {csn 3877   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   0gc0g 14378   LSpanclspn 17052  LBasisclbs 17155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fv 5426  df-ov 6094  df-lbs 17156
This theorem is referenced by:  lbsss  17158  lbssp  17160  lbsind  17161  lbspropd  17180  islbs2  17235  frlmlbs  18225  islbs4  18261
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