Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islbs Structured version   Unicode version

Theorem islbs 17849
 Description: The predicate " is a basis for the left module or vector space ". A subset of the base set is a basis if zero is not in the set, it spans the set, and no nonzero multiple of an element of the basis is in the span of the rest of the family. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs.v
islbs.f Scalar
islbs.s
islbs.k
islbs.j LBasis
islbs.n
islbs.z
Assertion
Ref Expression
islbs
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem islbs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3118 . . . 4
2 islbs.j . . . . 5 LBasis
3 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
4 islbs.v . . . . . . . . 9
53, 4syl6eqr 2516 . . . . . . . 8
65pweqd 4020 . . . . . . 7
7 fvex 5882 . . . . . . . . 9
87a1i 11 . . . . . . . 8
9 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
10 islbs.n . . . . . . . . 9
119, 10syl6eqr 2516 . . . . . . . 8
12 fvex 5882 . . . . . . . . . 10 Scalar
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 Scalar
14 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
1514adantr 465 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
16 islbs.f . . . . . . . . . 10 Scalar
1715, 16syl6eqr 2516 . . . . . . . . 9 Scalar
18 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
1918fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11
205ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
2119, 20eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14
24 islbs.k . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . 13
2622fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 islbs.z . . . . . . . . . . . . . . 15
2826, 27syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . 14
2928sneqd 4044 . . . . . . . . . . . . 13
3025, 29difeq12d 3619 . . . . . . . . . . . 12
31 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 islbs.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3331, 32syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534oveqd 6313 . . . . . . . . . . . . . 14
3618fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14
3735, 36eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . 13
3837notbid 294 . . . . . . . . . . . 12
3930, 38raleqbidv 3068 . . . . . . . . . . 11
4039ralbidv 2896 . . . . . . . . . 10
4121, 40anbi12d 710 . . . . . . . . 9
4213, 17, 41sbcied2 3365 . . . . . . . 8 Scalar
438, 11, 42sbcied2 3365 . . . . . . 7 Scalar
446, 43rabeqbidv 3104 . . . . . 6 Scalar
45 df-lbs 17848 . . . . . 6 LBasis Scalar
46 fvex 5882 . . . . . . . . 9
474, 46eqeltri 2541 . . . . . . . 8
4847pwex 4639 . . . . . . 7
4948rabex 4607 . . . . . 6
5044, 45, 49fvmpt 5956 . . . . 5 LBasis
512, 50syl5eq 2510 . . . 4
521, 51syl 16 . . 3
5352eleq2d 2527 . 2
5447elpw2 4620 . . . 4
5554anbi1i 695 . . 3
56 fveq2 5872 . . . . . 6
5756eqeq1d 2459 . . . . 5
58 difeq1 3611 . . . . . . . . . 10
5958fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
6059eleq2d 2527 . . . . . . . 8
6160notbid 294 . . . . . . 7
6261ralbidv 2896 . . . . . 6
6362raleqbi1dv 3062 . . . . 5
6457, 63anbi12d 710 . . . 4
6564elrab 3257 . . 3
66 3anass 977 . . 3
6755, 65, 663bitr4i 277 . 2
6853, 67syl6bb 261 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  crab 2811  cvv 3109  wsbc 3327   cdif 3468   wss 3471  cpw 4015  csn 4032  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14644  Scalarcsca 14715  cvsca 14716  c0g 14857  clspn 17744  LBasisclbs 17847 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6299  df-lbs 17848 This theorem is referenced by:  lbsss  17850  lbssp  17852  lbsind  17853  lbspropd  17872  islbs2  17927  frlmlbs  18958  islbs4  18994
 Copyright terms: Public domain W3C validator