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Theorem islaut 36204
Description: The predictate "is a lattice automorphism." (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautset.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lautset.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
islaut  |-  ( K  e.  A  ->  ( F  e.  I  <->  ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, K, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    I( x, y)    .<_ ( x, y)

Proof of Theorem islaut
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lautset.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lautset.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lautset.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
41, 2, 3lautset 36203 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  I  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
54eleq2d 2524 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  ( F  e.  I  <->  F  e.  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } ) )
6 f1of 5798 . . . . 5  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  F : B
--> B )
7 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  e.  _V
81, 7eqeltri 2538 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
9 fex 6120 . . . . 5  |-  ( ( F : B --> B  /\  B  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
106, 8, 9sylancl 660 . . . 4  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  F  e.  _V )
1110adantr 463 . . 3  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) )  ->  F  e.  _V )
12 f1oeq1 5789 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : B -1-1-onto-> B  <->  F : B
-1-1-onto-> B ) )
13 fveq1 5847 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
14 fveq1 5847 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
1513, 14breq12d 4452 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  .<_  ( f `  y )  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) )
1615bibi2d 316 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) )  <-> 
( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) )
17162ralbidv 2898 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) )
1812, 17anbi12d 708 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) )  <->  ( F : B
-1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <-> 
( F `  x
)  .<_  ( F `  y ) ) ) ) )
1911, 18elab3 3250 . 2  |-  ( F  e.  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) }  <->  ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) )
205, 19syl6bb 261 1  |-  ( K  e.  A  ->  ( F  e.  I  <->  ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570   Basecbs 14716   lecple 14791   LAutclaut 36106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-map 7414  df-laut 36110
This theorem is referenced by:  lautle  36205  laut1o  36206  lautcnv  36211  idlaut  36217  lautco  36218  cdleme50laut  36670
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