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Theorem islaut 33357
Description: The predictate "is a lattice automorphism." (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautset.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lautset.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
islaut  |-  ( K  e.  A  ->  ( F  e.  I  <->  ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, K, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    I( x, y)    .<_ ( x, y)

Proof of Theorem islaut
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lautset.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lautset.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lautset.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
41, 2, 3lautset 33356 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  I  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
54eleq2d 2490 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  ( F  e.  I  <->  F  e.  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } ) )
6 f1of 5822 . . . . 5  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  F : B
--> B )
7 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  e.  _V
81, 7eqeltri 2504 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
9 fex 6144 . . . . 5  |-  ( ( F : B --> B  /\  B  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
106, 8, 9sylancl 666 . . . 4  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  F  e.  _V )
1110adantr 466 . . 3  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) )  ->  F  e.  _V )
12 f1oeq1 5813 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : B -1-1-onto-> B  <->  F : B
-1-1-onto-> B ) )
13 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
14 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
1513, 14breq12d 4430 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  .<_  ( f `  y )  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) )
1615bibi2d 319 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) )  <-> 
( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) )
17162ralbidv 2867 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) )
1812, 17anbi12d 715 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) )  <->  ( F : B
-1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <-> 
( F `  x
)  .<_  ( F `  y ) ) ) ) )
1911, 18elab3 3222 . 2  |-  ( F  e.  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) }  <->  ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) )
205, 19syl6bb 264 1  |-  ( K  e.  A  ->  ( F  e.  I  <->  ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   {cab 2405   A.wral 2773   _Vcvv 3078   class class class wbr 4417   -->wf 5588   -1-1-onto->wf1o 5591   ` cfv 5592   Basecbs 15073   lecple 15149   LAutclaut 33259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7473  df-laut 33263
This theorem is referenced by:  lautle  33358  laut1o  33359  lautcnv  33364  idlaut  33370  lautco  33371  cdleme50laut  33823
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