Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islaut Structured version   Unicode version

Theorem islaut 34035
Description: The predictate "is a lattice automorphism." (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautset.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lautset.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
islaut  |-  ( K  e.  A  ->  ( F  e.  I  <->  ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, K, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    I( x, y)    .<_ ( x, y)

Proof of Theorem islaut
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lautset.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lautset.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lautset.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
41, 2, 3lautset 34034 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  I  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
54eleq2d 2521 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  ( F  e.  I  <->  F  e.  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } ) )
6 f1of 5741 . . . . 5  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  F : B
--> B )
7 fvex 5801 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  e.  _V
81, 7eqeltri 2535 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
9 fex 6051 . . . . 5  |-  ( ( F : B --> B  /\  B  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
106, 8, 9sylancl 662 . . . 4  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  F  e.  _V )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) )  ->  F  e.  _V )
12 f1oeq1 5732 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : B -1-1-onto-> B  <->  F : B
-1-1-onto-> B ) )
13 fveq1 5790 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
14 fveq1 5790 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
1513, 14breq12d 4405 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  .<_  ( f `  y )  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) )
1615bibi2d 318 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) )  <-> 
( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) )
17162ralbidv 2866 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) )
1812, 17anbi12d 710 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) )  <->  ( F : B
-1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <-> 
( F `  x
)  .<_  ( F `  y ) ) ) ) )
1911, 18elab3 3212 . 2  |-  ( F  e.  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) }  <->  ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) )
205, 19syl6bb 261 1  |-  ( K  e.  A  ->  ( F  e.  I  <->  ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2436   A.wral 2795   _Vcvv 3070   class class class wbr 4392   -->wf 5514   -1-1-onto->wf1o 5517   ` cfv 5518   Basecbs 14278   lecple 14349   LAutclaut 33937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-map 7318  df-laut 33941
This theorem is referenced by:  lautle  34036  laut1o  34037  lautcnv  34042  idlaut  34048  lautco  34049  cdleme50laut  34499
  Copyright terms: Public domain W3C validator