MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iskgen2 Structured version   Unicode version

Theorem iskgen2 19922
Description: A space is compactly generated iff it contains its image under the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
iskgen2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)

Proof of Theorem iskgen2
StepHypRef Expression
1 kgentop 19916 . . 3  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  J  e.  Top )
2 kgenidm 19921 . . . 4  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  (𝑘Gen `  J
)  =  J )
3 eqimss 3541 . . . 4  |-  ( (𝑘Gen `  J )  =  J  ->  (𝑘Gen `  J )  C_  J )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
51, 4jca 532 . 2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
6 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  (𝑘Gen `  J )  C_  J
)
7 kgenss 19917 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
96, 8eqssd 3506 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  (𝑘Gen `  J )  =  J )
10 kgenf 19915 . . . . . 6  |- 𝑘Gen : Top --> Top
11 ffn 5721 . . . . . 6  |-  (𝑘Gen : Top --> Top 
-> 𝑘Gen 
Fn  Top )
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5  |- 𝑘Gen  Fn  Top
13 fnfvelrn 6013 . . . . 5  |-  ( (𝑘Gen  Fn  Top  /\  J  e. 
Top )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
1412, 13mpan 670 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
1514adantr 465 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
169, 15eqeltrrd 2532 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  J  e.  ran 𝑘Gen )
175, 16impbii 188 1  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    C_ wss 3461   ran crn 4990    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578   Topctop 19267  𝑘Genckgen 19907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-fin 7522  df-fi 7873  df-rest 14697  df-topgen 14718  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-cmp 19760  df-kgen 19908
This theorem is referenced by:  iskgen3  19923  llycmpkgen2  19924  1stckgen  19928  txkgen  20026  qtopkgen  20084
  Copyright terms: Public domain W3C validator