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Theorem isismty 31592
Description: The condition "is an isometry". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isismty  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, M, y    x, N, y    x, X, y    x, Y, y   
x, F, y

Proof of Theorem isismty
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismtyval 31591 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) } )
21eleq2d 2474 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  F  e.  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) } ) )
3 f1of 5801 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X
--> Y )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  ->  F : X --> Y )
5 elfvdm 5877 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
6 elfvdm 5877 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  Y  e.  dom  *Met )
7 fex2 6741 . . . . . 6  |-  ( ( F : X --> Y  /\  X  e.  dom  *Met  /\  Y  e.  dom  *Met )  ->  F  e. 
_V )
84, 5, 6, 7syl3an 1274 . . . . 5  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  F  e.  _V )
983expib 1202 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  ->  F  e.  _V )
)
109com12 31 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  (
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  ->  F  e.  _V ) )
11 f1oeq1 5792 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )
12 fveq1 5850 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
13 fveq1 5850 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
1412, 13oveq12d 6298 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
) N ( f `
 y ) )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )
1514eqeq2d 2418 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) )  <->  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
16152ralbidv 2850 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
1711, 16anbi12d 711 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) )  <-> 
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
1817elab3g 3204 . . 3  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  ->  F  e.  _V )  ->  ( F  e. 
{ f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) }  <-> 
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
1910, 18syl 17 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
202, 19bitrd 255 1  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   {cab 2389   A.wral 2756   _Vcvv 3061   dom cdm 4825   -->wf 5567   -1-1-onto->wf1o 5570   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   *Metcxmt 18725    Ismty cismty 31589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-map 7461  df-xr 9664  df-xmet 18734  df-ismty 31590
This theorem is referenced by:  ismtycnv  31593  ismtyima  31594  ismtyhmeolem  31595  ismtybndlem  31597  ismtyres  31599  ismrer1  31629  reheibor  31630
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