Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isismty Structured version   Unicode version

Theorem isismty 29900
Description: The condition "is an isometry". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isismty  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, M, y    x, N, y    x, X, y    x, Y, y   
x, F, y

Proof of Theorem isismty
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismtyval 29899 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) } )
21eleq2d 2537 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  F  e.  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) } ) )
3 f1of 5814 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X
--> Y )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  ->  F : X --> Y )
5 elfvdm 5890 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
6 elfvdm 5890 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( *Met `  Y )  ->  Y  e.  dom  *Met )
7 fex2 6736 . . . . . 6  |-  ( ( F : X --> Y  /\  X  e.  dom  *Met  /\  Y  e.  dom  *Met )  ->  F  e. 
_V )
84, 5, 6, 7syl3an 1270 . . . . 5  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  M  e.  ( *Met `  X
)  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  F  e.  _V )
983expib 1199 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y ) )  ->  F  e.  _V )
)
109com12 31 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  (
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  ->  F  e.  _V ) )
11 f1oeq1 5805 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )
12 fveq1 5863 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
13 fveq1 5863 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
1412, 13oveq12d 6300 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
) N ( f `
 y ) )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )
1514eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) )  <->  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
16152ralbidv 2908 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
1711, 16anbi12d 710 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) )  <-> 
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
1817elab3g 3256 . . 3  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  ->  F  e.  _V )  ->  ( F  e. 
{ f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) }  <-> 
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
1910, 18syl 16 . 2  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
202, 19bitrd 253 1  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  N  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   _Vcvv 3113   dom cdm 4999   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   *Metcxmt 18174    Ismty cismty 29897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-xr 9628  df-xmet 18183  df-ismty 29898
This theorem is referenced by:  ismtycnv  29901  ismtyima  29902  ismtyhmeolem  29903  ismtybndlem  29905  ismtyres  29907  ismrer1  29937  reheibor  29938
  Copyright terms: Public domain W3C validator