Theorem isismty 15948

Description: The condition "is an isometry".

Hypotheses

Ref	Expression
isismty.1	|- X = dom dom M
isismty.2	|- Y = dom dom N

Assertion

Ref	Expression
isismty	|- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F e. (MIsmtyN) <-> (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. X A.y e. X (xMy) = ((F` x)N(F` y)))))

Distinct variable groups:   x,M,y   x,N,y   x,X,y   x,Y,y   x,F,y

Proof of Theorem isismty

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isismty.1	. . . 4 |- X = dom dom M
2		isismty.2	. . . 4 |- Y = dom dom N
3	1, 2	ismtyval 15947	. . 3 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (MIsmtyN) = {f | (f:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. X A.y e. X (xMy) = ((f` x)N(f` y)))})
4	3	eleq2d 1964	. 2 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F e. (MIsmtyN) <-> F e. {f | (f:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. X A.y e. X (xMy) = ((f` x)N(f` y)))}))
5		fex 4595	. . . . . . 7 |- ((F:X-->Y /\ X e. _V) -> F e. _V)
6		f1of 4635	. . . . . . 7 |- (F:X-1-1-onto->Y -> F:X-->Y)
7		dmexg 4206	. . . . . . . . 9 |- (M e. Met -> dom M e. _V)
8		dmexg 4206	. . . . . . . . 9 |- (dom M e. _V -> dom dom M e. _V)
9	7, 8	syl 12	. . . . . . . 8 |- (M e. Met -> dom dom M e. _V)
10	9, 1	syl5eqel 1975	. . . . . . 7 |- (M e. Met -> X e. _V)
11	5, 6, 10	syl2an 503	. . . . . 6 |- ((F:X-1-1-onto->Y /\ M e. Met) -> F e. _V)
12	11	expcom 403	. . . . 5 |- (M e. Met -> (F:X-1-1-onto->Y -> F e. _V))
13	12	adantr 425	. . . 4 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F:X-1-1-onto->Y -> F e. _V))
14	13	adantrd 427	. . 3 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> ((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. X A.y e. X (xMy) = ((F` x)N(F` y))) -> F e. _V))
15		f1oeq1 4630	. . . . 5 |- (f = F -> (f:X-1-1-onto->Y <-> F:X-1-1-onto->Y))
16		fveq1 4680	. . . . . . . 8 |- (f = F -> (f` x) = (F` x))
17		fveq1 4680	. . . . . . . 8 |- (f = F -> (f` y) = (F` y))
18	16, 17	opreq12d 4900	. . . . . . 7 |- (f = F -> ((f` x)N(f` y)) = ((F` x)N(F` y)))
19	18	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- (f = F -> ((xMy) = ((f` x)N(f` y)) <-> (xMy) = ((F` x)N(F` y))))
20	19	2ralbidv 2140	. . . . 5 |- (f = F -> (A.x e. X A.y e. X (xMy) = ((f` x)N(f` y)) <-> A.x e. X A.y e. X (xMy) = ((F` x)N(F` y))))
21	15, 20	anbi12d 690	. . . 4 |- (f = F -> ((f:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. X A.y e. X (xMy) = ((f` x)N(f` y))) <-> (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. X A.y e. X (xMy) = ((F` x)N(F` y)))))
22	21	elab3g 2409	. . 3 |- (((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. X A.y e. X (xMy) = ((F` x)N(F` y))) -> F e. _V) -> (F e. {f | (f:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. X A.y e. X (xMy) = ((f` x)N(f` y)))} <-> (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. X A.y e. X (xMy) = ((F` x)N(F` y)))))
23	14, 22	syl 12	. 2 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F e. {f | (f:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. X A.y e. X (xMy) = ((f` x)N(f` y)))} <-> (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. X A.y e. X (xMy) = ((F` x)N(F` y)))))
24	4, 23	bitrd 587	1 |- ((M e. Met /\ N e. Met) -> (F e. (MIsmtyN) <-> (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. X A.y e. X (xMy) = ((F` x)N(F` y)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  A.wral 2105  _Vcvv 2292  dom cdm 3986  -->wf 3994  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Metcme 9066  Ismtycismty 15945

This theorem is referenced by:  ismtycnv 15949  ismtyhmeo 15951  ismtybndlem 15952  ismtyres 15954  ismrer1 16024

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-ismty 15946

Copyright terms: Public domain