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Theorem isismt 24047
Description: Property of being an isometry. Compare with isismty 30502 (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isismt.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
isismt.p  |-  P  =  ( Base `  H
)
isismt.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
isismt.m  |-  .-  =  ( dist `  H )
Assertion
Ref Expression
isismt  |-  ( ( G  e.  V  /\  H  e.  W )  ->  ( F  e.  ( GIsmt H )  <->  ( F : B -1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( F `  a )  .-  ( F `  b
) )  =  ( a D b ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, a,
b    F, a, b    G, a, b    H, a, b
Allowed substitution hints:    D( a, b)    P( a, b)    .- ( a, b)    V( a, b)    W( a, b)

Proof of Theorem isismt
Dummy variables  f 
g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3118 . . . 4  |-  ( G  e.  V  ->  G  e.  _V )
2 elex 3118 . . . 4  |-  ( H  e.  W  ->  H  e.  _V )
3 eqidd 2458 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  f  =  f )
4 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  =  ( Base `  G
) )
5 isismt.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
64, 5syl6eqr 2516 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  =  B )
7 eqidd 2458 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  h )  =  ( Base `  h
) )
83, 6, 7f1oeq123d 5819 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
f : ( Base `  g ) -1-1-onto-> ( Base `  h
)  <->  f : B -1-1-onto-> ( Base `  h ) ) )
9 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  G  ->  ( dist `  g )  =  ( dist `  G
) )
10 isismt.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( dist `  G
)
119, 10syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  ( dist `  g )  =  D )
1211oveqd 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
a ( dist `  g
) b )  =  ( a D b ) )
1312eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( f `  a ) ( dist `  h ) ( f `
 b ) )  =  ( a (
dist `  g )
b )  <->  ( (
f `  a )
( dist `  h )
( f `  b
) )  =  ( a D b ) ) )
146, 13raleqbidv 3068 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  ( A. b  e.  ( Base `  g ) ( ( f `  a
) ( dist `  h
) ( f `  b ) )  =  ( a ( dist `  g ) b )  <->  A. b  e.  B  ( ( f `  a ) ( dist `  h ) ( f `
 b ) )  =  ( a D b ) ) )
156, 14raleqbidv 3068 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( A. a  e.  ( Base `  g ) A. b  e.  ( Base `  g ) ( ( f `  a ) ( dist `  h
) ( f `  b ) )  =  ( a ( dist `  g ) b )  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( f `  a ) ( dist `  h ) ( f `
 b ) )  =  ( a D b ) ) )
168, 15anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( f : (
Base `  g ) -1-1-onto-> ( Base `  h )  /\  A. a  e.  ( Base `  g ) A. b  e.  ( Base `  g
) ( ( f `
 a ) (
dist `  h )
( f `  b
) )  =  ( a ( dist `  g
) b ) )  <-> 
( f : B -1-1-onto-> ( Base `  h )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  (
( f `  a
) ( dist `  h
) ( f `  b ) )  =  ( a D b ) ) ) )
1716abbidv 2593 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  { f  |  ( f : ( Base `  g
)
-1-1-onto-> ( Base `  h )  /\  A. a  e.  (
Base `  g ) A. b  e.  ( Base `  g ) ( ( f `  a
) ( dist `  h
) ( f `  b ) )  =  ( a ( dist `  g ) b ) ) }  =  {
f  |  ( f : B -1-1-onto-> ( Base `  h
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( (
f `  a )
( dist `  h )
( f `  b
) )  =  ( a D b ) ) } )
18 eqidd 2458 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  f  =  f )
19 eqidd 2458 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  B  =  B )
20 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  H  ->  ( Base `  h )  =  ( Base `  H
) )
21 isismt.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  H
)
2220, 21syl6eqr 2516 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  ( Base `  h )  =  P )
2318, 19, 22f1oeq123d 5819 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
f : B -1-1-onto-> ( Base `  h )  <->  f : B
-1-1-onto-> P ) )
24 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  H  ->  ( dist `  h )  =  ( dist `  H
) )
25 isismt.m . . . . . . . . . . 11  |-  .-  =  ( dist `  H )
2624, 25syl6eqr 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  H  ->  ( dist `  h )  = 
.-  )
2726oveqd 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  H  ->  (
( f `  a
) ( dist `  h
) ( f `  b ) )  =  ( ( f `  a )  .-  (
f `  b )
) )
2827eqeq1d 2459 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
( ( f `  a ) ( dist `  h ) ( f `
 b ) )  =  ( a D b )  <->  ( (
f `  a )  .-  ( f `  b
) )  =  ( a D b ) ) )
29282ralbidv 2901 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( f `  a ) ( dist `  h ) ( f `
 b ) )  =  ( a D b )  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( (
f `  a )  .-  ( f `  b
) )  =  ( a D b ) ) )
3023, 29anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  (
( f : B -1-1-onto-> ( Base `  h )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  (
( f `  a
) ( dist `  h
) ( f `  b ) )  =  ( a D b ) )  <->  ( f : B -1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( (
f `  a )  .-  ( f `  b
) )  =  ( a D b ) ) ) )
3130abbidv 2593 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> ( Base `  h
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( (
f `  a )
( dist `  h )
( f `  b
) )  =  ( a D b ) ) }  =  {
f  |  ( f : B -1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( (
f `  a )  .-  ( f `  b
) )  =  ( a D b ) ) } )
32 df-ismt 24046 . . . . 5  |- Ismt  =  ( g  e.  _V ,  h  e.  _V  |->  { f  |  ( f : ( Base `  g
)
-1-1-onto-> ( Base `  h )  /\  A. a  e.  (
Base `  g ) A. b  e.  ( Base `  g ) ( ( f `  a
) ( dist `  h
) ( f `  b ) )  =  ( a ( dist `  g ) b ) ) } )
33 ovex 6324 . . . . . 6  |-  ( P  ^m  B )  e. 
_V
34 f1of 5822 . . . . . . . . 9  |-  ( f : B -1-1-onto-> P  ->  f : B
--> P )
35 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  H )  e.  _V
3621, 35eqeltri 2541 . . . . . . . . . 10  |-  P  e. 
_V
37 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  G )  e.  _V
385, 37eqeltri 2541 . . . . . . . . . 10  |-  B  e. 
_V
3936, 38elmap 7466 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( P  ^m  B )  <->  f : B
--> P )
4034, 39sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( f : B -1-1-onto-> P  ->  f  e.  ( P  ^m  B ) )
4140adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( f : B -1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  (
( f `  a
)  .-  ( f `  b ) )  =  ( a D b ) )  ->  f  e.  ( P  ^m  B
) )
4241abssi 3571 . . . . . 6  |-  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( (
f `  a )  .-  ( f `  b
) )  =  ( a D b ) ) }  C_  ( P  ^m  B )
4333, 42ssexi 4601 . . . . 5  |-  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( (
f `  a )  .-  ( f `  b
) )  =  ( a D b ) ) }  e.  _V
4417, 31, 32, 43ovmpt2 6437 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  H  e.  _V )  ->  ( GIsmt H )  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( f `  a )  .-  (
f `  b )
)  =  ( a D b ) ) } )
451, 2, 44syl2an 477 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  H  e.  W )  ->  ( GIsmt H )  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( f `  a )  .-  (
f `  b )
)  =  ( a D b ) ) } )
4645eleq2d 2527 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  H  e.  W )  ->  ( F  e.  ( GIsmt H )  <->  F  e.  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( (
f `  a )  .-  ( f `  b
) )  =  ( a D b ) ) } ) )
47 f1of 5822 . . . . 5  |-  ( F : B -1-1-onto-> P  ->  F : B
--> P )
48 fex 6146 . . . . 5  |-  ( ( F : B --> P  /\  B  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
4947, 38, 48sylancl 662 . . . 4  |-  ( F : B -1-1-onto-> P  ->  F  e.  _V )
5049adantr 465 . . 3  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  (
( F `  a
)  .-  ( F `  b ) )  =  ( a D b ) )  ->  F  e.  _V )
51 f1oeq1 5813 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : B -1-1-onto-> P  <->  F : B
-1-1-onto-> P ) )
52 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  a )  =  ( F `  a ) )
53 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  b )  =  ( F `  b ) )
5452, 53oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  a
)  .-  ( f `  b ) )  =  ( ( F `  a )  .-  ( F `  b )
) )
5554eqeq1d 2459 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f `  a )  .-  (
f `  b )
)  =  ( a D b )  <->  ( ( F `  a )  .-  ( F `  b
) )  =  ( a D b ) ) )
56552ralbidv 2901 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( f `  a )  .-  (
f `  b )
)  =  ( a D b )  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( F `  a )  .-  ( F `  b
) )  =  ( a D b ) ) )
5751, 56anbi12d 710 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : B -1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( f `  a )  .-  (
f `  b )
)  =  ( a D b ) )  <-> 
( F : B -1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( F `  a )  .-  ( F `  b )
)  =  ( a D b ) ) ) )
5850, 57elab3 3253 . 2  |-  ( F  e.  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( f `  a )  .-  (
f `  b )
)  =  ( a D b ) ) }  <->  ( F : B
-1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( F `
 a )  .-  ( F `  b ) )  =  ( a D b ) ) )
5946, 58syl6bb 261 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  H  e.  W )  ->  ( F  e.  ( GIsmt H )  <->  ( F : B -1-1-onto-> P  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  ( ( F `  a )  .-  ( F `  b
) )  =  ( a D b ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   _Vcvv 3109   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   Basecbs 14644   distcds 14721  Ismtcismt 24045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7440  df-ismt 24046
This theorem is referenced by:  ismot  24048
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