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Theorem isirred2 17222
Description: Expand out the set differences from isirred 17220. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isirred2.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
isirred2.2  |-  U  =  (Unit `  R )
isirred2.3  |-  I  =  (Irred `  R )
isirred2.4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
isirred2  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, R, y    x, U, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    I( x, y)

Proof of Theorem isirred2
StepHypRef Expression
1 eldif 3491 . . 3  |-  ( X  e.  ( B  \  U )  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U ) )
2 eldif 3491 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  \  U )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  U ) )
3 eldif 3491 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( B  \  U )  <->  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U ) )
42, 3anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( B 
\  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  U
)  /\  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U ) ) )
5 an4 822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  U
)  /\  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U ) ) )
64, 5bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( B 
\  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U ) ) )
76imbi1i 325 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( B  \  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
)  <->  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U ) )  -> 
( x  .x.  y
)  =/=  X ) )
8 impexp 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
) )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X ) ) )
9 pm4.56 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
)  <->  -.  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) )
10 df-ne 2664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  -.  (
x  .x.  y )  =  X )
119, 10imbi12i 326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( -.  ( x  e.  U  \/  y  e.  U
)  ->  -.  (
x  .x.  y )  =  X ) )
12 con34b 292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) )  <->  ( -.  ( x  e.  U  \/  y  e.  U
)  ->  -.  (
x  .x.  y )  =  X ) )
1311, 12bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) )
1413imbi2i 312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
)  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
158, 14bitri 249 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
) )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
167, 15bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( B  \  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
)  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) ) )
17162albii 1621 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  ( B 
\  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  -> 
( x  .x.  y
)  =/=  X )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
18 r2al 2845 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( B  \  U ) A. y  e.  ( B  \  U
) ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( B  \  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
) )
19 r2al 2845 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) ) )
2017, 18, 193bitr4i 277 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( B  \  U ) A. y  e.  ( B  \  U
) ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) )
211, 20anbi12i 697 . 2  |-  ( ( X  e.  ( B 
\  U )  /\  A. x  e.  ( B 
\  U ) A. y  e.  ( B  \  U ) ( x 
.x.  y )  =/= 
X )  <->  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
22 isirred2.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
23 isirred2.2 . . 3  |-  U  =  (Unit `  R )
24 isirred2.3 . . 3  |-  I  =  (Irred `  R )
25 eqid 2467 . . 3  |-  ( B 
\  U )  =  ( B  \  U
)
26 isirred2.4 . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2722, 23, 24, 25, 26isirred 17220 . 2  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  ( B  \  U
)  /\  A. x  e.  ( B  \  U
) A. y  e.  ( B  \  U
) ( x  .x.  y )  =/=  X
) )
28 df-3an 975 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) )  <-> 
( ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) ) )
2921, 27, 283bitr4i 277 1  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817    \ cdif 3478   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   .rcmulr 14573  Unitcui 17160  Irredcir 17161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6298  df-irred 17164
This theorem is referenced by:  irredcl  17225  irrednu  17226  irredmul  17230  prmirredlem  18392  prmirredlemOLD  18395
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