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Theorem isirred2 16815
Description: Expand out the set differences from isirred 16813. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isirred2.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
isirred2.2  |-  U  =  (Unit `  R )
isirred2.3  |-  I  =  (Irred `  R )
isirred2.4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
isirred2  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, R, y    x, U, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    I( x, y)

Proof of Theorem isirred2
StepHypRef Expression
1 eldif 3359 . . 3  |-  ( X  e.  ( B  \  U )  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U ) )
2 eldif 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  \  U )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  U ) )
3 eldif 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( B  \  U )  <->  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U ) )
42, 3anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( B 
\  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  U
)  /\  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U ) ) )
5 an4 820 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  U
)  /\  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U ) ) )
64, 5bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( B 
\  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U ) ) )
76imbi1i 325 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( B  \  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
)  <->  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U ) )  -> 
( x  .x.  y
)  =/=  X ) )
8 impexp 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
) )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X ) ) )
9 pm4.56 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
)  <->  -.  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) )
10 df-ne 2622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  -.  (
x  .x.  y )  =  X )
119, 10imbi12i 326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( -.  ( x  e.  U  \/  y  e.  U
)  ->  -.  (
x  .x.  y )  =  X ) )
12 con34b 292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) )  <->  ( -.  ( x  e.  U  \/  y  e.  U
)  ->  -.  (
x  .x.  y )  =  X ) )
1311, 12bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) )
1413imbi2i 312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
)  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
158, 14bitri 249 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
) )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
167, 15bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( B  \  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
)  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) ) )
17162albii 1611 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  ( B 
\  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  -> 
( x  .x.  y
)  =/=  X )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
18 r2al 2773 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( B  \  U ) A. y  e.  ( B  \  U
) ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( B  \  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
) )
19 r2al 2773 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) ) )
2017, 18, 193bitr4i 277 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( B  \  U ) A. y  e.  ( B  \  U
) ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) )
211, 20anbi12i 697 . 2  |-  ( ( X  e.  ( B 
\  U )  /\  A. x  e.  ( B 
\  U ) A. y  e.  ( B  \  U ) ( x 
.x.  y )  =/= 
X )  <->  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
22 isirred2.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
23 isirred2.2 . . 3  |-  U  =  (Unit `  R )
24 isirred2.3 . . 3  |-  I  =  (Irred `  R )
25 eqid 2443 . . 3  |-  ( B 
\  U )  =  ( B  \  U
)
26 isirred2.4 . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2722, 23, 24, 25, 26isirred 16813 . 2  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  ( B  \  U
)  /\  A. x  e.  ( B  \  U
) A. y  e.  ( B  \  U
) ( x  .x.  y )  =/=  X
) )
28 df-3an 967 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) )  <-> 
( ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) ) )
2921, 27, 283bitr4i 277 1  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736    \ cdif 3346   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   .rcmulr 14260  Unitcui 16753  Irredcir 16754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fv 5447  df-ov 6115  df-irred 16757
This theorem is referenced by:  irredcl  16818  irrednu  16819  irredmul  16823  prmirredlem  17939  prmirredlemOLD  17942
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