Theorem isipodrs 16005

Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isipodrs	|- ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )

Distinct variable group:   z, A, x, y

Proof of Theorem isipodrs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2400	. . . . 5 |- ( Base ` (toInc ` A ) ) = ( Base ` (toInc ` A ) )
2	1	drsbn0 15780	. . . 4 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset -> ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) )
3	2	neneqd 2603	. . 3 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset -> -. ( Base ` (toInc ` A ) ) = (/) )
4		fvprc 5797	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> (toInc ` A ) = (/) )
5	4	fveq2d 5807	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( Base ` (toInc ` A ) ) = ( Base ` (/) ) )
6		base0 14772	. . . 4 |- (/) = ( Base ` (/) )
7	5, 6	syl6eqr 2459	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( Base ` (toInc ` A ) ) = (/) )
8	3, 7	nsyl2 127	. 2 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset -> A e. _V )
9		simp1 995	. 2 |- ( ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) -> A e. _V )
10		eqid 2400	. . . 4 |- ( le ` (toInc ` A ) ) = ( le ` (toInc ` A ) )
11	1, 10	isdrs 15777	. . 3 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
12		eqid 2400	. . . . . . . 8 |- (toInc ` A ) = (toInc ` A )
13	12	ipopos 16004	. . . . . . 7 |- (toInc ` A ) e. Poset
14		posprs 15792	. . . . . . 7 |- ( (toInc ` A ) e. Poset -> (toInc ` A ) e. Preset )
15	13, 14	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> (toInc ` A ) e. Preset )
16		id 22	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> A e. _V )
17	15, 16	2thd 240	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( (toInc ` A ) e. Preset <-> A e. _V ) )
18	12	ipobas 15999	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> A = ( Base ` (toInc ` A ) ) )
19		neeq1 2682	. . . . . . . 8 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( A =/= (/) <-> ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) ) )
20		rexeq 3002	. . . . . . . . . 10 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
21	20	raleqbi1dv 3009	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
22	21	raleqbi1dv 3009	. . . . . . . 8 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
23	19, 22	anbi12d 709	. . . . . . 7 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) )
24	18, 23	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) )
25		simpll 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> A e. _V )
26		simplrl 760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> x e. A )
27		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
28	12, 10	ipole 16002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ x e. A /\ z e. A ) -> ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> x C_ z ) )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> x C_ z ) )
30		simplrr 761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> y e. A )
31	12, 10	ipole 16002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( y ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> y C_ z ) )
32	25, 30, 27, 31	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( y ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> y C_ z ) )
33	29, 32	anbi12d 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> ( x C_ z /\ y C_ z ) ) )
34		unss 3614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x C_ z /\ y C_ z ) <-> ( x u. y ) C_ z )
35	33, 34	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> ( x u. y ) C_ z ) )
36	35	rexbidva 2912	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )
37	36	2ralbidva 2843	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )
38	37	anbi2d 702	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
39	24, 38	bitr3d 255	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
40	17, 39	anbi12d 709	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) <-> ( A e. _V /\ ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) ) )
41		3anass 976	. . . 4 |- ( ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) )
42		3anass 976	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) <-> ( A e. _V /\ ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
43	40, 41, 42	3bitr4g 288	. . 3 |- ( A e. _V -> ( ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
44	11, 43	syl5bb 257	. 2 |- ( A e. _V -> ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
45	8, 9, 44	pm5.21nii 351	1 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 972   = wceq 1403   e. wcel 1840   =/= wne 2596   A.wral 2751   E.wrex 2752   _Vcvv 3056   u. cun 3409   C_ wss 3411   (/)c0 3735   class class class wbr 4392   ` cfv 5523   Basecbs 14731   lecple 14806   Preset cpreset 15769  Dirsetcdrs 15770   Posetcpo 15783  toInccipo 15995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-fz 11642  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ocomp 14820  df-preset 15771  df-drs 15772  df-poset 15789  df-ipo 15996

This theorem is referenced by:  ipodrscl  16006  fpwipodrs  16008  ipodrsima  16009  nacsfix  34970