Theorem isipodrs 15336

Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isipodrs	|- ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )

Distinct variable group:   z, A, x, y

Proof of Theorem isipodrs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2443	. . . . 5 |- ( Base ` (toInc ` A ) ) = ( Base ` (toInc ` A ) )
2	1	drsbn0 15112	. . . 4 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset -> ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) )
3	2	neneqd 2629	. . 3 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset -> -. ( Base ` (toInc ` A ) ) = (/) )
4		fvprc 5690	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> (toInc ` A ) = (/) )
5	4	fveq2d 5700	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( Base ` (toInc ` A ) ) = ( Base ` (/) ) )
6		base0 14218	. . . 4 |- (/) = ( Base ` (/) )
7	5, 6	syl6eqr 2493	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( Base ` (toInc ` A ) ) = (/) )
8	3, 7	nsyl2 127	. 2 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset -> A e. _V )
9		simp1 988	. 2 |- ( ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) -> A e. _V )
10		eqid 2443	. . . 4 |- ( le ` (toInc ` A ) ) = ( le ` (toInc ` A ) )
11	1, 10	isdrs 15109	. . 3 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
12		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- (toInc ` A ) = (toInc ` A )
13	12	ipopos 15335	. . . . . . 7 |- (toInc ` A ) e. Poset
14		posprs 15124	. . . . . . 7 |- ( (toInc ` A ) e. Poset -> (toInc ` A ) e. Preset )
15	13, 14	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> (toInc ` A ) e. Preset )
16		id 22	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> A e. _V )
17	15, 16	2thd 240	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( (toInc ` A ) e. Preset <-> A e. _V ) )
18	12	ipobas 15330	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> A = ( Base ` (toInc ` A ) ) )
19		neeq1 2621	. . . . . . . 8 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( A =/= (/) <-> ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) ) )
20		rexeq 2923	. . . . . . . . . 10 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
21	20	raleqbi1dv 2930	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
22	21	raleqbi1dv 2930	. . . . . . . 8 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
23	19, 22	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) )
24	18, 23	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) )
25		simpll 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> A e. _V )
26		simplrl 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> x e. A )
27		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
28	12, 10	ipole 15333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ x e. A /\ z e. A ) -> ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> x C_ z ) )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> x C_ z ) )
30		simplrr 760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> y e. A )
31	12, 10	ipole 15333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( y ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> y C_ z ) )
32	25, 30, 27, 31	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( y ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> y C_ z ) )
33	29, 32	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> ( x C_ z /\ y C_ z ) ) )
34		unss 3535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x C_ z /\ y C_ z ) <-> ( x u. y ) C_ z )
35	33, 34	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> ( x u. y ) C_ z ) )
36	35	rexbidva 2737	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )
37	36	2ralbidva 2760	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )
38	37	anbi2d 703	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
39	24, 38	bitr3d 255	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
40	17, 39	anbi12d 710	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) <-> ( A e. _V /\ ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) ) )
41		3anass 969	. . . 4 |- ( ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) )
42		3anass 969	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) <-> ( A e. _V /\ ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
43	40, 41, 42	3bitr4g 288	. . 3 |- ( A e. _V -> ( ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
44	11, 43	syl5bb 257	. 2 |- ( A e. _V -> ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
45	8, 9, 44	pm5.21nii 353	1 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977   u. cun 3331   C_ wss 3333   (/)c0 3642   class class class wbr 4297   ` cfv 5423   Basecbs 14179   lecple 14250   Preset cpreset 15101  Dirsetcdrs 15102   Posetcpo 15115  toInccipo 15326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ocomp 14264  df-preset 15103  df-drs 15104  df-poset 15121  df-ipo 15327

This theorem is referenced by:  ipodrscl  15337  fpwipodrs  15339  ipodrsima  15340  nacsfix  29053