Theorem isipodrs 16462

Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isipodrs	|- ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )

Distinct variable group:   z, A, x, y

Proof of Theorem isipodrs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2462	. . . . 5 |- ( Base ` (toInc ` A ) ) = ( Base ` (toInc ` A ) )
2	1	drsbn0 16237	. . . 4 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset -> ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) )
3	2	neneqd 2640	. . 3 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset -> -. ( Base ` (toInc ` A ) ) = (/) )
4		fvprc 5886	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> (toInc ` A ) = (/) )
5	4	fveq2d 5896	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( Base ` (toInc ` A ) ) = ( Base ` (/) ) )
6		base0 15217	. . . 4 |- (/) = ( Base ` (/) )
7	5, 6	syl6eqr 2514	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( Base ` (toInc ` A ) ) = (/) )
8	3, 7	nsyl2 132	. 2 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset -> A e. _V )
9		simp1 1014	. 2 |- ( ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) -> A e. _V )
10		eqid 2462	. . . 4 |- ( le ` (toInc ` A ) ) = ( le ` (toInc ` A ) )
11	1, 10	isdrs 16234	. . 3 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
12		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- (toInc ` A ) = (toInc ` A )
13	12	ipopos 16461	. . . . . . 7 |- (toInc ` A ) e. Poset
14		posprs 16249	. . . . . . 7 |- ( (toInc ` A ) e. Poset -> (toInc ` A ) e. Preset )
15	13, 14	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> (toInc ` A ) e. Preset )
16		id 22	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> A e. _V )
17	15, 16	2thd 248	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( (toInc ` A ) e. Preset <-> A e. _V ) )
18	12	ipobas 16456	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> A = ( Base ` (toInc ` A ) ) )
19		neeq1 2698	. . . . . . . 8 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( A =/= (/) <-> ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) ) )
20		rexeq 3000	. . . . . . . . . 10 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
21	20	raleqbi1dv 3007	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
22	21	raleqbi1dv 3007	. . . . . . . 8 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
23	19, 22	anbi12d 722	. . . . . . 7 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) )
24	18, 23	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) )
25		simpll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> A e. _V )
26		simplrl 775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> x e. A )
27		simpr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
28	12, 10	ipole 16459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ x e. A /\ z e. A ) -> ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> x C_ z ) )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> x C_ z ) )
30		simplrr 776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> y e. A )
31	12, 10	ipole 16459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( y ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> y C_ z ) )
32	25, 30, 27, 31	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( y ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> y C_ z ) )
33	29, 32	anbi12d 722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> ( x C_ z /\ y C_ z ) ) )
34		unss 3620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x C_ z /\ y C_ z ) <-> ( x u. y ) C_ z )
35	33, 34	syl6bb 269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> ( x u. y ) C_ z ) )
36	35	rexbidva 2910	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )
37	36	2ralbidva 2842	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )
38	37	anbi2d 715	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
39	24, 38	bitr3d 263	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
40	17, 39	anbi12d 722	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) <-> ( A e. _V /\ ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) ) )
41		3anass 995	. . . 4 |- ( ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) )
42		3anass 995	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) <-> ( A e. _V /\ ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
43	40, 41, 42	3bitr4g 296	. . 3 |- ( A e. _V -> ( ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
44	11, 43	syl5bb 265	. 2 |- ( A e. _V -> ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
45	8, 9, 44	pm5.21nii 359	1 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   u. cun 3414   C_ wss 3416   (/)c0 3743   class class class wbr 4418   ` cfv 5605   Basecbs 15176   lecple 15252   Preset cpreset 16226  Dirsetcdrs 16227   Posetcpo 16240  toInccipo 16452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-fz 11820  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ocomp 15266  df-preset 16228  df-drs 16229  df-poset 16246  df-ipo 16453

This theorem is referenced by:  ipodrscl  16463  fpwipodrs  16465  ipodrsima  16466  nacsfix  35600