Theorem isinf 7733

Description: Any set that is not finite is literally infinite, in the sense that it contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (It cannot be proven that the set has countably infinite subsets unless AC is invoked.) The proof does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
isinf	|- ( -. A e. Fin -> A. n e. om E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )

Distinct variable group:   x, A, n

Proof of Theorem isinf

Dummy variables f m y z g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4451	. . . . . 6 |- ( n = (/) -> ( x ~~ n <-> x ~~ (/) ) )
2	1	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( n = (/) -> ( ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> ( x C_ A /\ x ~~ (/) ) ) )
3	2	exbidv 1690	. . . 4 |- ( n = (/) -> ( E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> E. x ( x C_ A /\ x ~~ (/) ) ) )
4		breq2 4451	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( x ~~ n <-> x ~~ m ) )
5	4	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( n = m -> ( ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> ( x C_ A /\ x ~~ m ) ) )
6	5	exbidv 1690	. . . 4 |- ( n = m -> ( E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> E. x ( x C_ A /\ x ~~ m ) ) )
7		sseq1 3525	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x C_ A <-> y C_ A ) )
8	7	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( n = suc m /\ x = y ) -> ( x C_ A <-> y C_ A ) )
9		breq1 4450	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x ~~ n <-> y ~~ n ) )
10		breq2 4451	. . . . . . 7 |- ( n = suc m -> ( y ~~ n <-> y ~~ suc m ) )
11	9, 10	sylan9bbr 700	. . . . . 6 |- ( ( n = suc m /\ x = y ) -> ( x ~~ n <-> y ~~ suc m ) )
12	8, 11	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( ( n = suc m /\ x = y ) -> ( ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) )
13	12	cbvexdva 2006	. . . 4 |- ( n = suc m -> ( E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) )
14		0ss 3814	. . . . . 6 |- (/) C_ A
15		0ex 4577	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
16	15	enref 7548	. . . . . 6 |- (/) ~~ (/)
17		sseq1 3525	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x C_ A <-> (/) C_ A ) )
18		breq1 4450	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( x ~~ (/) <-> (/) ~~ (/) ) )
19	17, 18	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( x C_ A /\ x ~~ (/) ) <-> ( (/) C_ A /\ (/) ~~ (/) ) ) )
20	15, 19	spcev 3205	. . . . . 6 |- ( ( (/) C_ A /\ (/) ~~ (/) ) -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ (/) ) )
21	14, 16, 20	mp2an 672	. . . . 5 |- E. x ( x C_ A /\ x ~~ (/) )
22	21	a1i 11	. . . 4 |- ( -. A e. Fin -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ (/) ) )
23		ssdif0 3885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ x <-> ( A \ x ) = (/) )
24		eqss 3519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A <-> ( x C_ A /\ A C_ x ) )
25		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = A -> ( x ~~ m <-> A ~~ m ) )
26	25	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = A /\ x ~~ m ) -> A ~~ m )
27		rspe 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. om /\ A ~~ m ) -> E. m e. om A ~~ m )
28	26, 27	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. om /\ ( x = A /\ x ~~ m ) ) -> E. m e. om A ~~ m )
29		isfi 7539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. Fin <-> E. m e. om A ~~ m )
30	28, 29	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. om /\ ( x = A /\ x ~~ m ) ) -> A e. Fin )
31	30	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = A /\ x ~~ m ) -> ( m e. om -> A e. Fin ) )
32	24, 31	sylanbr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x C_ A /\ A C_ x ) /\ x ~~ m ) -> ( m e. om -> A e. Fin ) )
33	32	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ A /\ A C_ x ) -> ( x ~~ m -> ( m e. om -> A e. Fin ) ) )
34	23, 33	sylan2br 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ A /\ ( A \ x ) = (/) ) -> ( x ~~ m -> ( m e. om -> A e. Fin ) ) )
35	34	expcom 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ x ) = (/) -> ( x C_ A -> ( x ~~ m -> ( m e. om -> A e. Fin ) ) ) )
36	35	3impd 1210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ x ) = (/) -> ( ( x C_ A /\ x ~~ m /\ m e. om ) -> A e. Fin ) )
37	36	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ A /\ x ~~ m /\ m e. om ) -> ( ( A \ x ) = (/) -> A e. Fin ) )
38	37	con3d 133	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ A /\ x ~~ m /\ m e. om ) -> ( -. A e. Fin -> -. ( A \ x ) = (/) ) )
39		bren 7525	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ~~ m <-> E. f f : x -1-1-onto-> m )
40		neq0 3795	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( A \ x ) = (/) <-> E. z z e. ( A \ x ) )
41		eldifi 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. ( A \ x ) -> z e. A )
42	41	snssd 4172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. ( A \ x ) -> { z } C_ A )
43		unss 3678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x C_ A /\ { z } C_ A ) <-> ( x u. { z } ) C_ A )
44	43	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x C_ A /\ { z } C_ A ) -> ( x u. { z } ) C_ A )
45	42, 44	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x C_ A /\ z e. ( A \ x ) ) -> ( x u. { z } ) C_ A )
46	45	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) /\ ( z e. ( A \ x ) /\ m e. om ) ) -> ( x u. { z } ) C_ A )
47		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- z e. _V
48		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- m e. _V
49	47, 48	f1osn 5853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { <. z , m >. } : { z } -1-1-onto-> { m }
50	49	jctr 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : x -1-1-onto-> m -> ( f : x -1-1-onto-> m /\ { <. z , m >. } : { z } -1-1-onto-> { m } ) )
51		eldifn 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. ( A \ x ) -> -. z e. x )
52		disjsn 4088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. x )
53	51, 52	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ( A \ x ) -> ( x i^i { z } ) = (/) )
54		nnord 6692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. om -> Ord m )
55		orddisj 4916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Ord m -> ( m i^i { m } ) = (/) )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. om -> ( m i^i { m } ) = (/) )
57	53, 56	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ( A \ x ) /\ m e. om ) -> ( ( x i^i { z } ) = (/) /\ ( m i^i { m } ) = (/) ) )
58		f1oun 5835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( f : x -1-1-onto-> m /\ { <. z , m >. } : { z } -1-1-onto-> { m } ) /\ ( ( x i^i { z } ) = (/) /\ ( m i^i { m } ) = (/) ) ) -> ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> ( m u. { m } ) )
59	50, 57, 58	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f : x -1-1-onto-> m /\ ( z e. ( A \ x ) /\ m e. om ) ) -> ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> ( m u. { m } ) )
60		df-suc 4884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- suc m = ( m u. { m } )
61		f1oeq3 5809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( suc m = ( m u. { m } ) -> ( ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m <-> ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> ( m u. { m } ) ) )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m <-> ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> ( m u. { m } ) )
63		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- f e. _V
64		snex 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- { <. z , m >. } e. _V
65	63, 64	unex 6582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f u. { <. z , m >. } ) e. _V
66		f1oeq1 5807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g = ( f u. { <. z , m >. } ) -> ( g : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m <-> ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m ) )
67	65, 66	spcev 3205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m -> E. g g : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m )
68		bren 7525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x u. { z } ) ~~ suc m <-> E. g g : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m )
69	67, 68	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> suc m -> ( x u. { z } ) ~~ suc m )
70	62, 69	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f u. { <. z , m >. } ) : ( x u. { z } ) -1-1-onto-> ( m u. { m } ) -> ( x u. { z } ) ~~ suc m )
71	59, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f : x -1-1-onto-> m /\ ( z e. ( A \ x ) /\ m e. om ) ) -> ( x u. { z } ) ~~ suc m )
72	71	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) /\ ( z e. ( A \ x ) /\ m e. om ) ) -> ( x u. { z } ) ~~ suc m )
73		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- x e. _V
74		snex 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { z } e. _V
75	73, 74	unex 6582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x u. { z } ) e. _V
76		sseq1 3525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( x u. { z } ) -> ( y C_ A <-> ( x u. { z } ) C_ A ) )
77		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( x u. { z } ) -> ( y ~~ suc m <-> ( x u. { z } ) ~~ suc m ) )
78	76, 77	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x u. { z } ) -> ( ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) <-> ( ( x u. { z } ) C_ A /\ ( x u. { z } ) ~~ suc m ) ) )
79	75, 78	spcev 3205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x u. { z } ) C_ A /\ ( x u. { z } ) ~~ suc m ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) )
80	46, 72, 79	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) /\ ( z e. ( A \ x ) /\ m e. om ) ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) )
81	80	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ( A \ x ) /\ m e. om ) -> ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) )
82	81	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( A \ x ) -> ( m e. om -> ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) )
83	82	exlimiv 1698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z z e. ( A \ x ) -> ( m e. om -> ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) )
84	40, 83	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( A \ x ) = (/) -> ( m e. om -> ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) )
85	84	com13 80	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ A /\ f : x -1-1-onto-> m ) -> ( m e. om -> ( -. ( A \ x ) = (/) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) )
86	85	expcom 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : x -1-1-onto-> m -> ( x C_ A -> ( m e. om -> ( -. ( A \ x ) = (/) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) ) )
87	86	exlimiv 1698	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. f f : x -1-1-onto-> m -> ( x C_ A -> ( m e. om -> ( -. ( A \ x ) = (/) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) ) )
88	39, 87	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( x ~~ m -> ( x C_ A -> ( m e. om -> ( -. ( A \ x ) = (/) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) ) )
89	88	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ A -> ( x ~~ m -> ( m e. om -> ( -. ( A \ x ) = (/) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) ) )
90	89	3imp 1190	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ A /\ x ~~ m /\ m e. om ) -> ( -. ( A \ x ) = (/) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) )
91	38, 90	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ A /\ x ~~ m /\ m e. om ) -> ( -. A e. Fin -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) )
92	91	3expia 1198	. . . . . 6 |- ( ( x C_ A /\ x ~~ m ) -> ( m e. om -> ( -. A e. Fin -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) )
93	92	exlimiv 1698	. . . . 5 |- ( E. x ( x C_ A /\ x ~~ m ) -> ( m e. om -> ( -. A e. Fin -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) )
94	93	com3l 81	. . . 4 |- ( m e. om -> ( -. A e. Fin -> ( E. x ( x C_ A /\ x ~~ m ) -> E. y ( y C_ A /\ y ~~ suc m ) ) ) )
95	3, 6, 13, 22, 94	finds2 6712	. . 3 |- ( n e. om -> ( -. A e. Fin -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) ) )
96	95	com12 31	. 2 |- ( -. A e. Fin -> ( n e. om -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) ) )
97	96	ralrimiv 2876	1 |- ( -. A e. Fin -> A. n e. om E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447   Ord word 4877   suc csuc 4880   -1-1-onto->wf1o 5587   omcom 6684   ~~ cen 7513   Fincfn 7516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-om 6685  df-en 7517  df-fin 7520

This theorem is referenced by:  fineqvlem  7734  isinffi  8373  domtriomlem  8822  ishashinf  27302