Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isinag Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isinag 24958
 Description: Property for point to lie in the angle Defnition 11.23 of [Schwabhauser] p. 101. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isinag.p
isinag.i Itv
isinag.k hlG
isinag.x
isinag.a
isinag.b
isinag.c
isinag.g
Assertion
Ref Expression
isinag inA
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem isinag
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . . . . . . 9
21fveq1d 5881 . . . . . . . 8
31fveq1d 5881 . . . . . . . 8
42, 3neeq12d 2704 . . . . . . 7
51fveq1d 5881 . . . . . . . 8
65, 3neeq12d 2704 . . . . . . 7
7 simpl 464 . . . . . . . 8
87, 3neeq12d 2704 . . . . . . 7
94, 6, 83anbi123d 1365 . . . . . 6
10 eqidd 2472 . . . . . . . . 9
112, 5oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
1210, 11eleq12d 2543 . . . . . . . 8
1310, 3eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9
143fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
1510, 14, 7breq123d 4409 . . . . . . . . 9
1613, 15orbi12d 724 . . . . . . . 8
1712, 16anbi12d 725 . . . . . . 7
1817rexbidv 2892 . . . . . 6
199, 18anbi12d 725 . . . . 5
20 eqid 2471 . . . . 5 ..^ ..^
2119, 20brab2a 4889 . . . 4 ..^ ..^
2221a1i 11 . . 3 ..^ ..^
23 biidd 245 . . . 4 ..^ ..^
24 isinag.a . . . . . . . 8
25 s3fv0 13045 . . . . . . . 8
2624, 25syl 17 . . . . . . 7
27 isinag.b . . . . . . . 8
28 s3fv1 13046 . . . . . . . 8
2927, 28syl 17 . . . . . . 7
3026, 29neeq12d 2704 . . . . . 6
31 isinag.c . . . . . . . 8
32 s3fv2 13047 . . . . . . . 8
3331, 32syl 17 . . . . . . 7
3433, 29neeq12d 2704 . . . . . 6
3529neeq2d 2703 . . . . . 6
3630, 34, 353anbi123d 1365 . . . . 5
3726, 33oveq12d 6326 . . . . . . . 8
3837eleq2d 2534 . . . . . . 7
3929eqeq2d 2481 . . . . . . . 8
4029fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
4140breqd 4406 . . . . . . . 8
4239, 41orbi12d 724 . . . . . . 7
4338, 42anbi12d 725 . . . . . 6
4443rexbidv 2892 . . . . 5
4536, 44anbi12d 725 . . . 4
4623, 45anbi12d 725 . . 3 ..^ ..^
4722, 46bitrd 261 . 2 ..^ ..^
48 isinag.g . . . 4
49 elex 3040 . . . 4
50 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
51 isinag.p . . . . . . . . . 10
5250, 51syl6eqr 2523 . . . . . . . . 9
5352eleq2d 2534 . . . . . . . 8
5452oveq1d 6323 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
5554eleq2d 2534 . . . . . . . 8 ..^ ..^
5653, 55anbi12d 725 . . . . . . 7 ..^ ..^
57 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13 Itv Itv
58 isinag.i . . . . . . . . . . . . 13 Itv
5957, 58syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . 12 Itv
6059oveqd 6325 . . . . . . . . . . 11 Itv
6160eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10 Itv
62 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14 hlG hlG
63 isinag.k . . . . . . . . . . . . . 14 hlG
6462, 63syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . 13 hlG
6564fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . 12 hlG
6665breqd 4406 . . . . . . . . . . 11 hlG
6766orbi2d 716 . . . . . . . . . 10 hlG
6861, 67anbi12d 725 . . . . . . . . 9 Itv hlG
6952, 68rexeqbidv 2988 . . . . . . . 8 Itv hlG
7069anbi2d 718 . . . . . . 7 Itv hlG
7156, 70anbi12d 725 . . . . . 6 ..^ Itv hlG ..^
7271opabbidv 4459 . . . . 5 ..^ Itv hlG ..^
73 df-inag 24957 . . . . 5 inA ..^ Itv hlG
74 fvex 5889 . . . . . . . 8
7551, 74eqeltri 2545 . . . . . . 7
76 ovex 6336 . . . . . . 7 ..^
7775, 76xpex 6614 . . . . . 6 ..^
78 opabssxp 4914 . . . . . 6 ..^ ..^
7977, 78ssexi 4541 . . . . 5 ..^
8072, 73, 79fvmpt 5963 . . . 4 inA ..^
8148, 49, 803syl 18 . . 3 inA ..^
8281breqd 4406 . 2 inA ..^
83 isinag.x . . . 4
8424, 27, 31s3cld 13026 . . . . . 6 Word
85 s3len 13048 . . . . . . 7
8685a1i 11 . . . . . 6
8784, 86jca 541 . . . . 5 Word
88 3nn0 10911 . . . . . 6
89 wrdmap 12749 . . . . . 6 Word ..^
9075, 88, 89mp2an 686 . . . . 5 Word ..^
9187, 90sylib 201 . . . 4 ..^
9283, 91jca 541 . . 3 ..^
9392biantrurd 516 . 2 ..^
9447, 82, 933bitr4d 293 1 inA
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757  cvv 3031   class class class wbr 4395  copab 4453   cxp 4837  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490  cc0 9557  c1 9558  c2 10681  c3 10682  cn0 10893  ..^cfzo 11942  chash 12553  Word cword 12703  cs3 12997  cbs 15199  Itvcitv 24563  hlGchlg 24724  inAcinag 24955 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-inag 24957 This theorem is referenced by:  inagswap  24959  inaghl  24960
 Copyright terms: Public domain W3C validator