Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isidlc Structured version   Unicode version

Theorem isidlc 30339
Description: The predicate "is an ideal of the commutative ring  R." (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
idlval.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
idlval.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
idlval.3  |-  X  =  ran  G
idlval.4  |-  Z  =  (GId `  G )
Assertion
Ref Expression
isidlc  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    z, X    x, I, y, z    x, X
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)    H( x, y, z)    X( y)    Z( x, y, z)

Proof of Theorem isidlc
StepHypRef Expression
1 crngorngo 30324 . . 3  |-  ( R  e. CRingOps  ->  R  e.  RingOps )
2 idlval.1 . . . 4  |-  G  =  ( 1st `  R
)
3 idlval.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
4 idlval.3 . . . 4  |-  X  =  ran  G
5 idlval.4 . . . 4  |-  Z  =  (GId `  G )
62, 3, 4, 5isidl 30338 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
71, 6syl 16 . 2  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
8 ssel2 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  C_  X  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  X )
92, 3, 4crngocom 30325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
x H z )  =  ( z H x ) )
109eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( x H z )  e.  I  <->  ( z H x )  e.  I ) )
1110biimprd 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( z H x )  e.  I  -> 
( x H z )  e.  I ) )
12113expa 1196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z H x )  e.  I  -> 
( x H z )  e.  I ) )
1312pm4.71d 634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z H x )  e.  I  <->  ( (
z H x )  e.  I  /\  (
x H z )  e.  I ) ) )
1413bicomd 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I )  <-> 
( z H x )  e.  I ) )
1514ralbidva 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I )  <->  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) )
1615anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X )  ->  (
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) )  <->  ( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) )
178, 16sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
I  C_  X  /\  x  e.  I )
)  ->  ( ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) )  <->  ( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) )
1817anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  I  C_  X )  /\  x  e.  I )  ->  (
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) )  <->  ( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) )
1918ralbidva 2903 . . . . 5  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  I  C_  X )  ->  ( A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) )  <->  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) )
2019adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
I  C_  X  /\  Z  e.  I )
)  ->  ( A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) )  <->  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) )
2120pm5.32da 641 . . 3  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( ( I  C_  X  /\  Z  e.  I )  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )  <->  ( (
I  C_  X  /\  Z  e.  I )  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) ) )
22 df-3an 975 . . 3  |-  ( ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )  <->  ( (
I  C_  X  /\  Z  e.  I )  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
23 df-3an 975 . . 3  |-  ( ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) )  <-> 
( ( I  C_  X  /\  Z  e.  I
)  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
z H x )  e.  I ) ) )
2421, 22, 233bitr4g 288 . 2  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( I 
C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
z H x )  e.  I ) ) ) )
257, 24bitrd 253 1  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    C_ wss 3481   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1stc1st 6793   2ndc2nd 6794  GIdcgi 25012   RingOpscrngo 25200  CRingOpsccring 30319   Idlcidl 30331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6298  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-rngo 25201  df-com2 25236  df-crngo 30320  df-idl 30334
This theorem is referenced by:  prnc  30391
  Copyright terms: Public domain W3C validator