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Theorem isidl 30573
Description: The predicate "is an ideal of the ring  R." (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
idlval.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
idlval.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
idlval.3  |-  X  =  ran  G
idlval.4  |-  Z  =  (GId `  G )
Assertion
Ref Expression
isidl  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    z, X    x, I, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)    H( x, y, z)    X( x, y)    Z( x, y, z)

Proof of Theorem isidl
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlval.1 . . . 4  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 idlval.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 idlval.3 . . . 4  |-  X  =  ran  G
4 idlval.4 . . . 4  |-  Z  =  (GId `  G )
51, 2, 3, 4idlval 30572 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( Idl `  R
)  =  { i  e.  ~P X  | 
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) ) } )
65eleq2d 2527 . 2  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  I  e.  { i  e.  ~P X  | 
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) ) } ) )
7 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( 1st `  R )  e.  _V
81, 7eqeltri 2541 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
98rnex 6733 . . . . . 6  |-  ran  G  e.  _V
103, 9eqeltri 2541 . . . . 5  |-  X  e. 
_V
1110elpw2 4620 . . . 4  |-  ( I  e.  ~P X  <->  I  C_  X
)
1211anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( I  e.  ~P X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )  <->  ( I  C_  X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
13 eleq2 2530 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( Z  e.  i  <->  Z  e.  I ) )
14 eleq2 2530 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( x G y )  e.  i  <->  ( x G y )  e.  I ) )
1514raleqbi1dv 3062 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. y  e.  i 
( x G y )  e.  i  <->  A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I ) )
16 eleq2 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( z H x )  e.  i  <->  ( z H x )  e.  I ) )
17 eleq2 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( x H z )  e.  i  <->  ( x H z )  e.  I ) )
1816, 17anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i )  <->  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )
1918ralbidv 2896 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i )  <->  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )
2015, 19anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) )  <->  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
2120raleqbi1dv 3062 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( A. x  e.  i 
( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) )  <->  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
2213, 21anbi12d 710 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  (
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) )  <->  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
2322elrab 3257 . . 3  |-  ( I  e.  { i  e. 
~P X  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) ) ) }  <->  ( I  e.  ~P X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
24 3anass 977 . . 3  |-  ( ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )  <->  ( I  C_  X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
2512, 23, 243bitr4i 277 . 2  |-  ( I  e.  { i  e. 
~P X  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) ) ) }  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
266, 25syl6bb 261 1  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798  GIdcgi 25315   RingOpscrngo 25503   Idlcidl 30566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6299  df-idl 30569
This theorem is referenced by:  isidlc  30574  idlss  30575  idl0cl  30577  idladdcl  30578  idllmulcl  30579  idlrmulcl  30580  rngoidl  30583  0idl  30584  intidl  30588  unichnidl  30590  keridl  30591
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