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Theorem isidl 28767
Description: The predicate "is an ideal of the ring  R." (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
idlval.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
idlval.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
idlval.3  |-  X  =  ran  G
idlval.4  |-  Z  =  (GId `  G )
Assertion
Ref Expression
isidl  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    z, X    x, I, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)    H( x, y, z)    X( x, y)    Z( x, y, z)

Proof of Theorem isidl
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlval.1 . . . 4  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 idlval.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 idlval.3 . . . 4  |-  X  =  ran  G
4 idlval.4 . . . 4  |-  Z  =  (GId `  G )
51, 2, 3, 4idlval 28766 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( Idl `  R
)  =  { i  e.  ~P X  | 
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) ) } )
65eleq2d 2505 . 2  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  I  e.  { i  e.  ~P X  | 
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) ) } ) )
7 fvex 5696 . . . . . . . 8  |-  ( 1st `  R )  e.  _V
81, 7eqeltri 2508 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
98rnex 6507 . . . . . 6  |-  ran  G  e.  _V
103, 9eqeltri 2508 . . . . 5  |-  X  e. 
_V
1110elpw2 4451 . . . 4  |-  ( I  e.  ~P X  <->  I  C_  X
)
1211anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( I  e.  ~P X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )  <->  ( I  C_  X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
13 eleq2 2499 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( Z  e.  i  <->  Z  e.  I ) )
14 eleq2 2499 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( x G y )  e.  i  <->  ( x G y )  e.  I ) )
1514raleqbi1dv 2920 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. y  e.  i 
( x G y )  e.  i  <->  A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I ) )
16 eleq2 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( z H x )  e.  i  <->  ( z H x )  e.  I ) )
17 eleq2 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( x H z )  e.  i  <->  ( x H z )  e.  I ) )
1816, 17anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i )  <->  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )
1918ralbidv 2730 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i )  <->  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )
2015, 19anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) )  <->  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
2120raleqbi1dv 2920 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( A. x  e.  i 
( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) )  <->  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
2213, 21anbi12d 710 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  (
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) )  <->  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
2322elrab 3112 . . 3  |-  ( I  e.  { i  e. 
~P X  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) ) ) }  <->  ( I  e.  ~P X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
24 3anass 969 . . 3  |-  ( ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )  <->  ( I  C_  X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
2512, 23, 243bitr4i 277 . 2  |-  ( I  e.  { i  e. 
~P X  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) ) ) }  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
266, 25syl6bb 261 1  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   ran crn 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1stc1st 6570   2ndc2nd 6571  GIdcgi 23625   RingOpscrngo 23813   Idlcidl 28760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6089  df-idl 28763
This theorem is referenced by:  isidlc  28768  idlss  28769  idl0cl  28771  idladdcl  28772  idllmulcl  28773  idlrmulcl  28774  rngoidl  28777  0idl  28778  intidl  28782  unichnidl  28784  keridl  28785
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