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Theorem isibl2 21905
Description: The predicate " F is integrable" when  F is a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isibl.1  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
isibl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
isibl2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
isibl2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  G
)  e.  RR ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k    ph, k, x    x, V
Allowed substitution hints:    B( x)    T( x, k)    G( x, k)    V( k)

Proof of Theorem isibl2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isibl.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
2 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  e.  A
3 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
0
4 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  <_
5 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x Re
6 nffvmpt1 5872 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
7 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x  /
8 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( _i ^ k
)
96, 7, 8nfov 6305 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y )  / 
( _i ^ k
) )
105, 9nffv 5871 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) )
113, 4, 10nfbr 4491 . . . . . . 7  |-  F/ x
0  <_  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y )  / 
( _i ^ k
) ) )
122, 11nfan 1875 . . . . . 6  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) )
1312, 10, 3nfif 3968 . . . . 5  |-  F/_ x if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )
14 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )
15 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  A  <->  x  e.  A ) )
16 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
1716oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) )  =  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) )
1817fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
Re `  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  /  ( _i
^ k ) ) )  =  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) )
1918breq2d 4459 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y )  / 
( _i ^ k
) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) )
2015, 19anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ) )
2120, 18ifbieq1d 3962 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2213, 14, 21cbvmpt 4537 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
23 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
24 isibl2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
25 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
2625fvmpt2 5955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
2723, 24, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
2827oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) )  =  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
2928fveq2d 5868 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) )  =  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )
30 isibl.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
3129, 30eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) )  =  T )
3231ibllem 21903 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
3332mpteq2dv 4534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
3422, 33syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
351, 34eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )
36 eqidd 2468 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  /  ( _i
^ k ) ) )  =  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) )
3724, 25fmptd 6043 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> V )
38 fdm 5733 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> V  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
3937, 38syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
40 eqidd 2468 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )
4135, 36, 39, 40isibl 21904 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  G
)  e.  RR ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   _ici 9490    <_ cle 9625    / cdiv 10202   3c3 10582   ...cfz 11668   ^cexp 12129   Recre 12887  MblFncmbf 21755   S.2citg2 21757   L^1cibl 21758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-ibl 21763
This theorem is referenced by:  iblitg  21907  iblcnlem1  21926  iblss  21943  iblss2  21944  itgeqa  21952  iblconst  21956  iblabsr  21968  iblmulc2  21969  iblmulc2nc  29655  iblsplit  31284
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