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Theorem isibl 21361
Description: The predicate " F is integrable". The "integrable" predicate corresponds roughly to the range of validity of  S. A B  _d x, which is to say that the expression  S. A B  _d x doesn't make sense unless  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isibl.1  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
isibl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
isibl.3  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
isibl.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  B )
Assertion
Ref Expression
isibl  |-  ( ph  ->  ( F  e.  L^1 
<->  ( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  G )  e.  RR ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k    k, F, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    B( x)    T( x, k)    G( x, k)

Proof of Theorem isibl
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5801 . . . . . . . . 9  |-  ( Re
`  ( ( f `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
2 nfcv 2613 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  ( Re `  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )
3 breq2 4396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  ( Re `  ( ( f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) )
43anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  (
( x  e.  dom  f  /\  0  <_  y
)  <->  ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  ( Re `  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ) )
5 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) )
64, 5ifbieq1d 3912 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  dom  f  /\  0  <_  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) )
71, 2, 6csbief 3413 . . . . . . . 8  |-  [_ (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  dom  f  /\  0  <_  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )
8 dmeq 5140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  dom  f  =  dom  F )
98eleq2d 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
x  e.  dom  f  <->  x  e.  dom  F ) )
10 fveq1 5790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
1110oveq1d 6207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) )  =  ( ( F `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) )
1211fveq2d 5795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) )
1312breq2d 4404 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
0  <_  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) )
149, 13anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  e.  dom  f  /\  0  <_  (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) )  <->  ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ) )
1514, 12ifbieq1d 3912 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  ( Re `  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) )
167, 15syl5eq 2504 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  [_ (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) )
1716mpteq2dv 4479 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( ( f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( F `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
1817fveq2d 5795 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( F `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
1918eleq1d 2520 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
2019ralbidv 2838 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  ( A. k  e.  (
0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
21 df-ibl 21220 . . 3  |-  L^1  =  { f  e. MblFn  |  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( ( f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) ) )  e.  RR }
2220, 21elrab2 3218 . 2  |-  ( F  e.  L^1  <->  ( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
23 isibl.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
2423eleq2d 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  F  <-> 
x  e.  A ) )
2524anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ) )
2625ifbid 3911 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) )
27 isibl.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  B )
2827oveq1d 6207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) )  =  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )
2928fveq2d 5795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
30 isibl.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
3129, 30eqtr4d 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  T )
3231ibllem 21360 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
3326, 32eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
3433mpteq2dv 4479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
35 isibl.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
3634, 35eqtr4d 2495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  G )
3736fveq2d 5795 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  G ) )
3837eleq1d 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
3938ralbidv 2838 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  G
)  e.  RR ) )
4039anbi2d 703 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <-> 
( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  G )  e.  RR ) ) )
4122, 40syl5bb 257 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  L^1 
<->  ( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  G )  e.  RR ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   [_csb 3388   ifcif 3891   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   dom cdm 4940   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384   0cc0 9385   _ici 9387    <_ cle 9522    / cdiv 10096   3c3 10475   ...cfz 11540   ^cexp 11968   Recre 12690  MblFncmbf 21212   S.2citg2 21214   L^1cibl 21215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-nul 4521
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-dm 4950  df-iota 5481  df-fv 5526  df-ov 6195  df-ibl 21220
This theorem is referenced by:  isibl2  21362  ibl0  21382
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