MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isibl Structured version   Unicode version

Theorem isibl 22341
Description: The predicate " F is integrable". The "integrable" predicate corresponds roughly to the range of validity of  S. A B  _d x, which is to say that the expression  S. A B  _d x doesn't make sense unless  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isibl.1  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
isibl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
isibl.3  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
isibl.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  B )
Assertion
Ref Expression
isibl  |-  ( ph  ->  ( F  e.  L^1 
<->  ( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  G )  e.  RR ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k    k, F, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    B( x)    T( x, k)    G( x, k)

Proof of Theorem isibl
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( Re
`  ( ( f `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
2 breq2 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  ( Re `  ( ( f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) )
32anbi2d 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  (
( x  e.  dom  f  /\  0  <_  y
)  <->  ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  ( Re `  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ) )
4 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) )
53, 4ifbieq1d 3952 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  dom  f  /\  0  <_  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) )
61, 5csbie 3446 . . . . . . . 8  |-  [_ (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  dom  f  /\  0  <_  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )
7 dmeq 5192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  dom  f  =  dom  F )
87eleq2d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
x  e.  dom  f  <->  x  e.  dom  F ) )
9 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
109oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) )  =  ( ( F `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) )
1110fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) )
1211breq2d 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
0  <_  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) )
138, 12anbi12d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  e.  dom  f  /\  0  <_  (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) )  <->  ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ) )
1413, 11ifbieq1d 3952 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  ( Re `  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) )
156, 14syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  [_ (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) )
1615mpteq2dv 4526 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( ( f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( F `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
1716fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( F `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
1817eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
1918ralbidv 2893 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  ( A. k  e.  (
0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
20 df-ibl 22200 . . 3  |-  L^1  =  { f  e. MblFn  |  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( ( f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) ) )  e.  RR }
2119, 20elrab2 3256 . 2  |-  ( F  e.  L^1  <->  ( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
22 isibl.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
2322eleq2d 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  F  <-> 
x  e.  A ) )
2423anbi1d 702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ) )
2524ifbid 3951 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) )
26 isibl.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  B )
2726oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) )  =  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )
2827fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
29 isibl.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
3028, 29eqtr4d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  T )
3130ibllem 22340 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
3225, 31eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
3332mpteq2dv 4526 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
34 isibl.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
3533, 34eqtr4d 2498 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  G )
3635fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  G ) )
3736eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
3837ralbidv 2893 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  G
)  e.  RR ) )
3938anbi2d 701 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <-> 
( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  G )  e.  RR ) ) )
4021, 39syl5bb 257 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  L^1 
<->  ( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  G )  e.  RR ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   [_csb 3420   ifcif 3929   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   _ici 9483    <_ cle 9618    / cdiv 10202   3c3 10582   ...cfz 11675   ^cexp 12151   Recre 13015  MblFncmbf 22192   S.2citg2 22194   L^1cibl 22195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-nul 4568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fv 5578  df-ov 6273  df-ibl 22200
This theorem is referenced by:  isibl2  22342  ibl0  22362  iblempty  32006
  Copyright terms: Public domain W3C validator