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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ishtpy | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Membership in the class of homotopies between two continuous functions. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
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ishtpy.1 |
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ishtpy.3 |
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ishtpy.4 |
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Ref | Expression |
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ishtpy |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | df-htpy 22079 |
. . . . . 6
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2 | 1 | a1i 11 |
. . . . 5
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3 | simprl 772 |
. . . . . . 7
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4 | simprr 774 |
. . . . . . 7
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5 | 3, 4 | oveq12d 6326 |
. . . . . 6
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6 | 3 | oveq1d 6323 |
. . . . . . . 8
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7 | 6, 4 | oveq12d 6326 |
. . . . . . 7
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8 | 3 | unieqd 4200 |
. . . . . . . . 9
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9 | ishtpy.1 |
. . . . . . . . . . 11
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10 | toponuni 20019 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 11 | adantr 472 |
. . . . . . . . 9
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13 | 8, 12 | eqtr4d 2508 |
. . . . . . . 8
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14 | 13 | raleqdv 2979 |
. . . . . . 7
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15 | 7, 14 | rabeqbidv 3026 |
. . . . . 6
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16 | 5, 5, 15 | mpt2eq123dv 6372 |
. . . . 5
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17 | topontop 20018 |
. . . . . 6
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18 | 9, 17 | syl 17 |
. . . . 5
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19 | ishtpy.3 |
. . . . . 6
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20 | cntop2 20334 |
. . . . . 6
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21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . . 5
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22 | ssrab2 3500 |
. . . . . . . . . 10
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23 | ovex 6336 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 23 | elpw2 4565 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 22, 24 | mpbir 214 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | rgen2w 2769 |
. . . . . . . 8
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27 | eqid 2471 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | fmpt2 6879 |
. . . . . . . 8
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29 | 26, 28 | mpbi 213 |
. . . . . . 7
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30 | ovex 6336 |
. . . . . . . 8
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31 | 30, 30 | xpex 6614 |
. . . . . . 7
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32 | 23 | pwex 4584 |
. . . . . . 7
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33 | fex2 6767 |
. . . . . . 7
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34 | 29, 31, 32, 33 | mp3an 1390 |
. . . . . 6
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35 | 34 | a1i 11 |
. . . . 5
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36 | 2, 16, 18, 21, 35 | ovmpt2d 6443 |
. . . 4
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37 | fveq1 5878 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | eqeq2d 2481 |
. . . . . . . 8
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39 | fveq1 5878 |
. . . . . . . . 9
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40 | 39 | eqeq2d 2481 |
. . . . . . . 8
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41 | 38, 40 | bi2anan9 890 |
. . . . . . 7
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42 | 41 | adantl 473 |
. . . . . 6
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43 | 42 | ralbidv 2829 |
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44 | 43 | rabbidv 3022 |
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45 | ishtpy.4 |
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46 | 23 | rabex 4550 |
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47 | 46 | a1i 11 |
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48 | 36, 44, 19, 45, 47 | ovmpt2d 6443 |
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49 | 48 | eleq2d 2534 |
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50 | oveq 6314 |
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51 | 50 | eqeq1d 2473 |
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52 | oveq 6314 |
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53 | 52 | eqeq1d 2473 |
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54 | 51, 53 | anbi12d 725 |
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55 | 54 | ralbidv 2829 |
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56 | 55 | elrab 3184 |
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57 | 49, 56 | syl6bb 269 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-ral 2761 df-rex 2762 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-op 3966 df-uni 4191 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-id 4754 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-fv 5597 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-map 7492 df-top 19998 df-topon 20000 df-cn 20320 df-htpy 22079 |
This theorem is referenced by: htpycn 22082 htpyi 22083 ishtpyd 22084 |
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