Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishtpy Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ishtpy 22081
 Description: Membership in the class of homotopies between two continuous functions. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ishtpy.1 TopOn
ishtpy.3
ishtpy.4
Assertion
Ref Expression
ishtpy Htpy
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ishtpy
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-htpy 22079 . . . . . 6 Htpy
21a1i 11 . . . . 5 Htpy
3 simprl 772 . . . . . . 7
4 simprr 774 . . . . . . 7
53, 4oveq12d 6326 . . . . . 6
63oveq1d 6323 . . . . . . . 8
76, 4oveq12d 6326 . . . . . . 7
83unieqd 4200 . . . . . . . . 9
9 ishtpy.1 . . . . . . . . . . 11 TopOn
10 toponuni 20019 . . . . . . . . . . 11 TopOn
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10
1211adantr 472 . . . . . . . . 9
138, 12eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
1413raleqdv 2979 . . . . . . 7
157, 14rabeqbidv 3026 . . . . . 6
165, 5, 15mpt2eq123dv 6372 . . . . 5
17 topontop 20018 . . . . . 6 TopOn
189, 17syl 17 . . . . 5
19 ishtpy.3 . . . . . 6
20 cntop2 20334 . . . . . 6
2119, 20syl 17 . . . . 5
22 ssrab2 3500 . . . . . . . . . 10
23 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11
2423elpw2 4565 . . . . . . . . . 10
2522, 24mpbir 214 . . . . . . . . 9
2625rgen2w 2769 . . . . . . . 8
27 eqid 2471 . . . . . . . . 9
2827fmpt2 6879 . . . . . . . 8
2926, 28mpbi 213 . . . . . . 7
30 ovex 6336 . . . . . . . 8
3130, 30xpex 6614 . . . . . . 7
3223pwex 4584 . . . . . . 7
33 fex2 6767 . . . . . . 7
3429, 31, 32, 33mp3an 1390 . . . . . 6
3534a1i 11 . . . . 5
362, 16, 18, 21, 35ovmpt2d 6443 . . . 4 Htpy
37 fveq1 5878 . . . . . . . . 9
3837eqeq2d 2481 . . . . . . . 8
39 fveq1 5878 . . . . . . . . 9
4039eqeq2d 2481 . . . . . . . 8
4138, 40bi2anan9 890 . . . . . . 7
4241adantl 473 . . . . . 6
4342ralbidv 2829 . . . . 5
4443rabbidv 3022 . . . 4
45 ishtpy.4 . . . 4
4623rabex 4550 . . . . 5
4746a1i 11 . . . 4
4836, 44, 19, 45, 47ovmpt2d 6443 . . 3 Htpy
4948eleq2d 2534 . 2 Htpy
50 oveq 6314 . . . . . 6
5150eqeq1d 2473 . . . . 5
52 oveq 6314 . . . . . 6
5352eqeq1d 2473 . . . . 5
5451, 53anbi12d 725 . . . 4
5554ralbidv 2829 . . 3
5655elrab 3184 . 2
5749, 56syl6bb 269 1 Htpy
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  crab 2760  cvv 3031   wss 3390  cpw 3942  cuni 4190   cxp 4837  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cc0 9557  c1 9558  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317   ctx 20652  cii 21985   Htpy chtpy 22076 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-top 19998  df-topon 20000  df-cn 20320  df-htpy 22079 This theorem is referenced by:  htpycn  22082  htpyi  22083  ishtpyd  22084
 Copyright terms: Public domain W3C validator