HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ishst Structured version   Unicode version

Theorem ishst 27853
Description: Property of a complex Hilbert-space-valued state. Definition of CH-states in [Mayet3] p. 9. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ishst  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem ishst
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 26638 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
2 chex 26865 . . . 4  |-  CH  e.  _V
31, 2elmap 7505 . . 3  |-  ( S  e.  ( ~H  ^m  CH )  <->  S : CH --> ~H )
43anbi1i 699 . 2  |-  ( ( S  e.  ( ~H 
^m  CH )  /\  (
( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) ) )  <->  ( S : CH
--> ~H  /\  ( (
normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
5 fveq1 5877 . . . . . 6  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  ~H )  =  ( S `  ~H ) )
65fveq2d 5882 . . . . 5  |-  ( f  =  S  ->  ( normh `  ( f `  ~H ) )  =  (
normh `  ( S `  ~H ) ) )
76eqeq1d 2424 . . . 4  |-  ( f  =  S  ->  (
( normh `  ( f `  ~H ) )  =  1  <->  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1 ) )
8 fveq1 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  x )  =  ( S `  x ) )
9 fveq1 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  y )  =  ( S `  y ) )
108, 9oveq12d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  S  ->  (
( f `  x
)  .ih  ( f `  y ) )  =  ( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
) )
1110eqeq1d 2424 . . . . . . 7  |-  ( f  =  S  ->  (
( ( f `  x )  .ih  (
f `  y )
)  =  0  <->  (
( S `  x
)  .ih  ( S `  y ) )  =  0 ) )
12 fveq1 5877 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  ( x  vH  y ) )  =  ( S `  (
x  vH  y )
) )
138, 9oveq12d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  S  ->  (
( f `  x
)  +h  ( f `
 y ) )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( S `  y
) ) )
1412, 13eqeq12d 2444 . . . . . . 7  |-  ( f  =  S  ->  (
( f `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( f `  x )  +h  ( f `  y ) )  <->  ( S `  ( x  vH  y
) )  =  ( ( S `  x
)  +h  ( S `
 y ) ) ) )
1511, 14anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( f  =  S  ->  (
( ( ( f `
 x )  .ih  ( f `  y
) )  =  0  /\  ( f `  ( x  vH  y
) )  =  ( ( f `  x
)  +h  ( f `
 y ) ) )  <->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) )
1615imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( f  =  S  ->  (
( x  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( f `
 x )  .ih  ( f `  y
) )  =  0  /\  ( f `  ( x  vH  y
) )  =  ( ( f `  x
)  +h  ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( x  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( S `  x
)  .ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) ) )
17162ralbidv 2869 . . . 4  |-  ( f  =  S  ->  ( A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  ( x 
C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( f `  x
)  .ih  ( f `  y ) )  =  0  /\  ( f `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( f `  x )  +h  (
f `  y )
) ) )  <->  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) ) )
187, 17anbi12d 715 . . 3  |-  ( f  =  S  ->  (
( ( normh `  (
f `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( f `  x )  .ih  (
f `  y )
)  =  0  /\  ( f `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( f `  x )  +h  ( f `  y ) ) ) ) )  <->  ( ( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
19 df-hst 27851 . . 3  |-  CHStates  =  {
f  e.  ( ~H 
^m  CH )  |  ( ( normh `  ( f `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( f `  x ) 
.ih  ( f `  y ) )  =  0  /\  ( f `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( f `  x )  +h  (
f `  y )
) ) ) ) }
2018, 19elrab2 3231 . 2  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S  e.  ( ~H  ^m  CH )  /\  ( ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
21 3anass 986 . 2  |-  ( ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) )  <-> 
( S : CH --> ~H  /\  ( ( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
224, 20, 213bitr4i 280 1  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775    C_ wss 3436   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302    ^m cmap 7477   0cc0 9540   1c1 9541   ~Hchil 26558    +h cva 26559    .ih csp 26561   normhcno 26562   CHcch 26568   _|_cort 26569    vH chj 26572   CHStateschst 26602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-hilex 26638
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-map 7479  df-sh 26846  df-ch 26860  df-hst 27851
This theorem is referenced by:  hstcl  27856  hst1a  27857  hstel2  27858  hstrlem3a  27899
  Copyright terms: Public domain W3C validator