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Theorem ishst 22624
Description: Property of a complex Hilbert-space-valued state. Definition of CH-states in [Mayet3] p. 9. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ishst  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, S

Proof of Theorem ishst
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 21409 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
2 chex 21636 . . . 4  |-  CH  e.  _V
31, 2elmap 6682 . . 3  |-  ( S  e.  ( ~H  ^m  CH )  <->  S : CH --> ~H )
43anbi1i 679 . 2  |-  ( ( S  e.  ( ~H 
^m  CH )  /\  (
( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) ) )  <->  ( S : CH
--> ~H  /\  ( (
normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
5 fveq1 5376 . . . . . 6  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  ~H )  =  ( S `  ~H ) )
65fveq2d 5381 . . . . 5  |-  ( f  =  S  ->  ( normh `  ( f `  ~H ) )  =  (
normh `  ( S `  ~H ) ) )
76eqeq1d 2261 . . . 4  |-  ( f  =  S  ->  (
( normh `  ( f `  ~H ) )  =  1  <->  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1 ) )
8 fveq1 5376 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  x )  =  ( S `  x ) )
9 fveq1 5376 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  y )  =  ( S `  y ) )
108, 9oveq12d 5728 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  S  ->  (
( f `  x
)  .ih  ( f `  y ) )  =  ( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
) )
1110eqeq1d 2261 . . . . . . 7  |-  ( f  =  S  ->  (
( ( f `  x )  .ih  (
f `  y )
)  =  0  <->  (
( S `  x
)  .ih  ( S `  y ) )  =  0 ) )
12 fveq1 5376 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  S  ->  (
f `  ( x  vH  y ) )  =  ( S `  (
x  vH  y )
) )
138, 9oveq12d 5728 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  S  ->  (
( f `  x
)  +h  ( f `
 y ) )  =  ( ( S `
 x )  +h  ( S `  y
) ) )
1412, 13eqeq12d 2267 . . . . . . 7  |-  ( f  =  S  ->  (
( f `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( f `  x )  +h  ( f `  y ) )  <->  ( S `  ( x  vH  y
) )  =  ( ( S `  x
)  +h  ( S `
 y ) ) ) )
1511, 14anbi12d 694 . . . . . 6  |-  ( f  =  S  ->  (
( ( ( f `
 x )  .ih  ( f `  y
) )  =  0  /\  ( f `  ( x  vH  y
) )  =  ( ( f `  x
)  +h  ( f `
 y ) ) )  <->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) )
1615imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( f  =  S  ->  (
( x  C_  ( _|_ `  y )  -> 
( ( ( f `
 x )  .ih  ( f `  y
) )  =  0  /\  ( f `  ( x  vH  y
) )  =  ( ( f `  x
)  +h  ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( x  C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( S `  x
)  .ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) ) )
17162ralbidv 2547 . . . 4  |-  ( f  =  S  ->  ( A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  ( x 
C_  ( _|_ `  y
)  ->  ( (
( f `  x
)  .ih  ( f `  y ) )  =  0  /\  ( f `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( f `  x )  +h  (
f `  y )
) ) )  <->  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) ) )
187, 17anbi12d 694 . . 3  |-  ( f  =  S  ->  (
( ( normh `  (
f `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( f `  x )  .ih  (
f `  y )
)  =  0  /\  ( f `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( f `  x )  +h  ( f `  y ) ) ) ) )  <->  ( ( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
19 df-hst 22622 . . 3  |-  CHStates  =  {
f  e.  ( ~H 
^m  CH )  |  ( ( normh `  ( f `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( f `  x ) 
.ih  ( f `  y ) )  =  0  /\  ( f `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( f `  x )  +h  (
f `  y )
) ) ) ) }
2018, 19elrab2 2862 . 2  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S  e.  ( ~H  ^m  CH )  /\  ( ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
21 3anass 943 . 2  |-  ( ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e.  CH  A. y  e. 
CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  ( ( ( S `  x ) 
.ih  ( S `  y ) )  =  0  /\  ( S `
 ( x  vH  y ) )  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y )
) ) ) )  <-> 
( S : CH --> ~H  /\  ( ( normh `  ( S `  ~H ) )  =  1  /\  A. x  e. 
CH  A. y  e.  CH  ( x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) ) )
224, 20, 213bitr4i 270 1  |-  ( S  e.  CHStates 
<->  ( S : CH --> ~H  /\  ( normh `  ( S `  ~H )
)  =  1  /\ 
A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  ( _|_ `  y )  ->  (
( ( S `  x )  .ih  ( S `  y )
)  =  0  /\  ( S `  (
x  vH  y )
)  =  ( ( S `  x )  +h  ( S `  y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509    C_ wss 3078   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    ^m cmap 6658   0cc0 8617   1c1 8618   ~Hchil 21329    +h cva 21330    .ih csp 21332   normhcno 21333   CHcch 21339   _|_cort 21340    vH chj 21343   CHStateschst 21373
This theorem is referenced by:  hstcl  22627  hst1a  22628  hstel2  22629  hstrlem3a  22670
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-hilex 21409
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-map 6660  df-sh 21616  df-ch 21631  df-hst 22622
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