Theorem ishomeo2 15896

Description: The predicate "is a homeomorphism".

Hypotheses

Ref	Expression
ishomeo2.1	|- X = U.J
ishomeo2.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
ishomeo2	|- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Homeo K) <-> (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)))

Distinct variable groups:   x,F   x,J   x,K

Proof of Theorem ishomeo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishomeo2.1	. . . . . 6 |- X = U.J
2		ishomeo2.2	. . . . . 6 |- Y = U.K
3	1, 2	ishomeo 10235	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Homeo K)) -> (F e. (J Homeo K) <-> (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)))
4	3	biimpd 170	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Homeo K)) -> (F e. (J Homeo K) -> (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)))
5	4	3expia 1069	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Homeo K) -> (F e. (J Homeo K) -> (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J))))
6	5	pm2.43d 79	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Homeo K) -> (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)))
7		fex 4595	. . . . . . 7 |- ((F:X-->Y /\ X e. _V) -> F e. _V)
8		f1of 4635	. . . . . . 7 |- (F:X-1-1-onto->Y -> F:X-->Y)
9		uniexg 3795	. . . . . . . 8 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
10	9, 1	syl5eqel 1975	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> X e. _V)
11	7, 8, 10	syl2an 503	. . . . . 6 |- ((F:X-1-1-onto->Y /\ J e. Top) -> F e. _V)
12	11	3ad2antl1 1038	. . . . 5 |- (((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) /\ J e. Top) -> F e. _V)
13	12	expcom 403	. . . 4 |- (J e. Top -> ((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) -> F e. _V))
14	13	adantr 425	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) -> F e. _V))
15	1, 2	ishomeo 10235	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. _V) -> (F e. (J Homeo K) <-> (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)))
16	15	biimprd 171	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. _V) -> ((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) -> F e. (J Homeo K)))
17	16	3expia 1069	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. _V -> ((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) -> F e. (J Homeo K))))
18	17	com23 36	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) -> (F e. _V -> F e. (J Homeo K))))
19	14, 18	mpdd 57	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) -> F e. (J Homeo K)))
20	6, 19	impbid 574	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Homeo K) <-> (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  U.cuni 3177  `'ccnv 3985  "cima 3989  -->wf 3994  -1-1-onto->wf1o 3997  (class class class)co 4884  Topctop 8857   Homeo chomeosm 10230

This theorem is referenced by:  hmeocn 15897  ismtyhmeo 15951

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-homeo 10232

Copyright terms: Public domain