Theorem ishmo 9811

Description: The predicate "is a hermitian operator."

Hypotheses

Ref	Expression
hmoval.8	|- H = (HmOp` U)
hmoval.9	|- A = (UadjU)

Assertion

Ref	Expression
ishmo	|- (U e. NrmCVec -> (T e. H <-> (T e. dom A /\ (A` T) = T)))

Proof of Theorem ishmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmoval.8	. . . 4 |- H = (HmOp` U)
2		hmoval.9	. . . 4 |- A = (UadjU)
3	1, 2	hmoval 9810	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> H = {t e. dom A | (A` t) = t})
4	3	eleq2d 1964	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (T e. H <-> T e. {t e. dom A | (A` t) = t}))
5		fveq2 4681	. . . 4 |- (t = T -> (A` t) = (A` T))
6		id 73	. . . 4 |- (t = T -> t = T)
7	5, 6	eqeq12d 1899	. . 3 |- (t = T -> ((A` t) = t <-> (A` T) = T))
8	7	elrab 2414	. 2 |- (T e. {t e. dom A | (A` t) = t} <-> (T e. dom A /\ (A` T) = T))
9	4, 8	syl6bb 595	1 |- (U e. NrmCVec -> (T e. H <-> (T e. dom A /\ (A` T) = T)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {crab 2108  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  NrmCVeccnv 9535  adjcaj 9748  HmOpchmo 9749

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-hmo 9751

Copyright terms: Public domain