MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishmeo Unicode version

Theorem ishmeo 17744
Description: The predicate F is a homeomorphism between topology  J and topology  K. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ishmeo  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )

Proof of Theorem ishmeo
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnveq 5005 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
21eleq1d 2470 . 2  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f  e.  ( K  Cn  J )  <->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
3 hmeofval 17743 . 2  |-  ( J 
Homeo  K )  =  {
f  e.  ( J  Cn  K )  |  `' f  e.  ( K  Cn  J ) }
42, 3elrab2 3054 1  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   `'ccnv 4836  (class class class)co 6040    Cn ccn 17242    Homeo chmeo 17738
This theorem is referenced by:  hmeocn  17745  hmeocnvcn  17746  hmeocnv  17747  hmeores  17756  hmeoco  17757  idhmeo  17758  indishmph  17783  cmphaushmeo  17785  ordthmeo  17787  txhmeo  17788  txswaphmeo  17790  pt1hmeo  17791  ptunhmeo  17793  xkohmeo  17800  qtopf1  17801  qtophmeo  17802  grpinvhmeo  18069  tgplacthmeo  18086  cncfcnvcn  18904  icchmeo  18919  cnrehmeo  18931  cnheiborlem  18932  ismtyhmeo  26404
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-top 16918  df-topon 16921  df-cn 17245  df-hmeo 17740
  Copyright terms: Public domain W3C validator