MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishl2 Structured version   Unicode version

Theorem ishl2 21007
Description: A Hilbert space is a complete complex pre-Hilbert space over  RR or  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlress.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
hlress.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
ishl2  |-  ( W  e.  CHil  <->  ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil  /\  K  e.  { RR ,  CC } ) )

Proof of Theorem ishl2
StepHypRef Expression
1 ishl 20999 . 2  |-  ( W  e.  CHil  <->  ( W  e. Ban  /\  W  e.  CPreHil ) )
2 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC }  /\  W  e.  CPreHil )  <-> 
( ( W  e. CMetSp  /\  K  e.  { RR ,  CC } )  /\  W  e.  CPreHil ) )
3 3ancomb 974 . . 3  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil 
/\  K  e.  { RR ,  CC } )  <-> 
( W  e. CMetSp  /\  K  e.  { RR ,  CC }  /\  W  e.  CPreHil ) )
4 cphnvc 20820 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmVec )
5 hlress.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (Scalar `  W )
65isbn 20974 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. Ban 
<->  ( W  e. NrmVec  /\  W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp )
)
7 3anass 969 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp )  <->  ( W  e. NrmVec  /\  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp ) ) )
86, 7bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( W  e. Ban 
<->  ( W  e. NrmVec  /\  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp
) ) )
98baib 896 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmVec  ->  ( W  e. Ban  <->  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp
) ) )
104, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( W  e. Ban  <->  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp
) ) )
11 hlress.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Base `  F
)
125, 11cphsca 20823 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  F  =  (flds  K ) )
1312eleq1d 2520 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( F  e. CMetSp  <->  (flds  K )  e. CMetSp ) )
145, 11cphsubrg 20824 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  K  e.  (SubRing ` fld ) )
15 cphlvec 20819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LVec )
165lvecdrng 17301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  F  e.  DivRing )
1812, 17eqeltrrd 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  (flds  K )  e.  DivRing )
19 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
2019cncdrg 20996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  K )  e.  DivRing  /\  (flds  K )  e. CMetSp )  ->  K  e.  { RR ,  CC } )
21203expia 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  K )  e.  DivRing )  ->  (
(flds  K
)  e. CMetSp  ->  K  e. 
{ RR ,  CC } ) )
2214, 18, 21syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( (flds  K )  e. CMetSp  ->  K  e.  { RR ,  CC } ) )
23 elpri 3998 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  { RR ,  CC }  ->  ( K  =  RR  \/  K  =  CC ) )
24 oveq2 6201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  RR  ->  (flds  K )  =  (flds  RR ) )
25 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2625recld2 20516 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
27 cncms 20992 . . . . . . . . . . . . 13  |-fld  e. CMetSp
28 ax-resscn 9443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
29 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (flds  RR )  =  (flds  RR )
30 cnfldbas 17940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  ( Base ` fld )
3129, 30, 25cmsss 20986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (fld  e. CMetSp  /\  RR  C_  CC )  ->  ( (flds  RR )  e. CMetSp  <->  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) ) )
3227, 28, 31mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (flds  RR )  e. CMetSp 
<->  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
3326, 32mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  RR )  e. CMetSp
3424, 33syl6eqel 2547 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  RR  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
35 oveq2 6201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  CC  ->  (flds  K )  =  (flds  CC ) )
3630ressid 14344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (fld  e. CMetSp  ->  (flds  CC )  =fld )
3727, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  (flds  CC )  =fld
3837, 27eqeltri 2535 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  CC )  e. CMetSp
3935, 38syl6eqel 2547 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  CC  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
4034, 39jaoi 379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  =  RR  \/  K  =  CC )  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
4123, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  { RR ,  CC }  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
4222, 41impbid1 203 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( (flds  K )  e. CMetSp  <->  K  e.  { RR ,  CC }
) )
4313, 42bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( F  e. CMetSp  <->  K  e.  { RR ,  CC } ) )
4443anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp )  <->  ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC } ) ) )
4510, 44bitrd 253 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( W  e. Ban  <->  ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC } ) ) )
4645pm5.32ri 638 . . 3  |-  ( ( W  e. Ban  /\  W  e.  CPreHil )  <->  ( ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC } )  /\  W  e.  CPreHil ) )
472, 3, 463bitr4ri 278 . 2  |-  ( ( W  e. Ban  /\  W  e.  CPreHil )  <->  ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil  /\  K  e.  { RR ,  CC } ) )
481, 47bitri 249 1  |-  ( W  e.  CHil  <->  ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil  /\  K  e.  { RR ,  CC } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3429   {cpr 3980   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   Basecbs 14285   ↾s cress 14286  Scalarcsca 14352   TopOpenctopn 14471   DivRingcdr 16947  SubRingcsubrg 16976   LVecclvec 17298  ℂfldccnfld 17936   Clsdccld 18745  NrmVeccnvc 20299   CPreHilccph 20810  CMetSpccms 20968  Bancbn 20969   CHilchl 20970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-tpos 6848  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-mulg 15659  df-subg 15789  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-cring 16763  df-oppr 16830  df-dvdsr 16848  df-unit 16849  df-invr 16879  df-dvr 16890  df-drng 16949  df-subrg 16978  df-lvec 17299  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-phl 18173  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-cmp 19115  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-flim 19637  df-fcls 19639  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-nvc 20305  df-cncf 20579  df-cph 20812  df-cfil 20891  df-cmet 20893  df-cms 20971  df-bn 20972  df-hl 20973
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator