MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishl2 Structured version   Unicode version

Theorem ishl2 21976
Description: A Hilbert space is a complete complex pre-Hilbert space over  RR or  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlress.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
hlress.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
ishl2  |-  ( W  e.  CHil  <->  ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil  /\  K  e.  { RR ,  CC } ) )

Proof of Theorem ishl2
StepHypRef Expression
1 ishl 21968 . 2  |-  ( W  e.  CHil  <->  ( W  e. Ban  /\  W  e.  CPreHil ) )
2 df-3an 973 . . 3  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC }  /\  W  e.  CPreHil )  <-> 
( ( W  e. CMetSp  /\  K  e.  { RR ,  CC } )  /\  W  e.  CPreHil ) )
3 3ancomb 980 . . 3  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil 
/\  K  e.  { RR ,  CC } )  <-> 
( W  e. CMetSp  /\  K  e.  { RR ,  CC }  /\  W  e.  CPreHil ) )
4 cphnvc 21789 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmVec )
5 hlress.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (Scalar `  W )
65isbn 21943 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. Ban 
<->  ( W  e. NrmVec  /\  W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp )
)
7 3anass 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp )  <->  ( W  e. NrmVec  /\  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp ) ) )
86, 7bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( W  e. Ban 
<->  ( W  e. NrmVec  /\  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp
) ) )
98baib 901 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmVec  ->  ( W  e. Ban  <->  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp
) ) )
104, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( W  e. Ban  <->  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp
) ) )
11 hlress.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Base `  F
)
125, 11cphsca 21792 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  F  =  (flds  K ) )
1312eleq1d 2523 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( F  e. CMetSp  <->  (flds  K )  e. CMetSp ) )
145, 11cphsubrg 21793 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  K  e.  (SubRing ` fld ) )
15 cphlvec 21788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LVec )
165lvecdrng 17946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  F  e.  DivRing )
1812, 17eqeltrrd 2543 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  (flds  K )  e.  DivRing )
19 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
2019cncdrg 21965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  K )  e.  DivRing  /\  (flds  K )  e. CMetSp )  ->  K  e.  { RR ,  CC } )
21203expia 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  K )  e.  DivRing )  ->  (
(flds  K
)  e. CMetSp  ->  K  e. 
{ RR ,  CC } ) )
2214, 18, 21syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( (flds  K )  e. CMetSp  ->  K  e.  { RR ,  CC } ) )
23 elpri 4036 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  { RR ,  CC }  ->  ( K  =  RR  \/  K  =  CC ) )
24 oveq2 6278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  RR  ->  (flds  K )  =  (flds  RR ) )
25 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2625recld2 21485 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
27 cncms 21961 . . . . . . . . . . . . 13  |-fld  e. CMetSp
28 ax-resscn 9538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
29 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (flds  RR )  =  (flds  RR )
30 cnfldbas 18619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  ( Base ` fld )
3129, 30, 25cmsss 21955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (fld  e. CMetSp  /\  RR  C_  CC )  ->  ( (flds  RR )  e. CMetSp  <->  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) ) )
3227, 28, 31mp2an 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (flds  RR )  e. CMetSp 
<->  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
3326, 32mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  RR )  e. CMetSp
3424, 33syl6eqel 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  RR  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
35 oveq2 6278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  CC  ->  (flds  K )  =  (flds  CC ) )
3630ressid 14778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (fld  e. CMetSp  ->  (flds  CC )  =fld )
3727, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  (flds  CC )  =fld
3837, 27eqeltri 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  CC )  e. CMetSp
3935, 38syl6eqel 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  CC  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
4034, 39jaoi 377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  =  RR  \/  K  =  CC )  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
4123, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  { RR ,  CC }  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
4222, 41impbid1 203 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( (flds  K )  e. CMetSp  <->  K  e.  { RR ,  CC }
) )
4313, 42bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( F  e. CMetSp  <->  K  e.  { RR ,  CC } ) )
4443anbi2d 701 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp )  <->  ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC } ) ) )
4510, 44bitrd 253 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( W  e. Ban  <->  ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC } ) ) )
4645pm5.32ri 636 . . 3  |-  ( ( W  e. Ban  /\  W  e.  CPreHil )  <->  ( ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC } )  /\  W  e.  CPreHil ) )
472, 3, 463bitr4ri 278 . 2  |-  ( ( W  e. Ban  /\  W  e.  CPreHil )  <->  ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil  /\  K  e.  { RR ,  CC } ) )
481, 47bitri 249 1  |-  ( W  e.  CHil  <->  ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil  /\  K  e.  { RR ,  CC } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   {cpr 4018   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   Basecbs 14716   ↾s cress 14717  Scalarcsca 14787   TopOpenctopn 14911   DivRingcdr 17591  SubRingcsubrg 17620   LVecclvec 17943  ℂfldccnfld 18615   Clsdccld 19684  NrmVeccnvc 21268   CPreHilccph 21779  CMetSpccms 21937  Bancbn 21938   CHilchl 21939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-drng 17593  df-subrg 17622  df-lvec 17944  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-phl 18834  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-flim 20606  df-fcls 20608  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-nvc 21274  df-cncf 21548  df-cph 21781  df-cfil 21860  df-cmet 21862  df-cms 21940  df-bn 21941  df-hl 21942
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator