MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishl2 Structured version   Unicode version

Theorem ishl2 20723
Description: A Hilbert space is a complete complex pre-Hilbert space over  RR or  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlress.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
hlress.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
ishl2  |-  ( W  e.  CHil  <->  ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil  /\  K  e.  { RR ,  CC } ) )

Proof of Theorem ishl2
StepHypRef Expression
1 ishl 20715 . 2  |-  ( W  e.  CHil  <->  ( W  e. Ban  /\  W  e.  CPreHil ) )
2 df-3an 960 . . 3  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC }  /\  W  e.  CPreHil )  <-> 
( ( W  e. CMetSp  /\  K  e.  { RR ,  CC } )  /\  W  e.  CPreHil ) )
3 3ancomb 967 . . 3  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil 
/\  K  e.  { RR ,  CC } )  <-> 
( W  e. CMetSp  /\  K  e.  { RR ,  CC }  /\  W  e.  CPreHil ) )
4 cphnvc 20536 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmVec )
5 hlress.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (Scalar `  W )
65isbn 20690 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. Ban 
<->  ( W  e. NrmVec  /\  W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp )
)
7 3anass 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp )  <->  ( W  e. NrmVec  /\  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp ) ) )
86, 7bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( W  e. Ban 
<->  ( W  e. NrmVec  /\  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp
) ) )
98baib 889 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmVec  ->  ( W  e. Ban  <->  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp
) ) )
104, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( W  e. Ban  <->  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp
) ) )
11 hlress.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Base `  F
)
125, 11cphsca 20539 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  F  =  (flds  K ) )
1312eleq1d 2499 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( F  e. CMetSp  <->  (flds  K )  e. CMetSp ) )
145, 11cphsubrg 20540 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  K  e.  (SubRing ` fld ) )
15 cphlvec 20535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LVec )
165lvecdrng 17107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  F  e.  DivRing )
1812, 17eqeltrrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  (flds  K )  e.  DivRing )
19 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
2019cncdrg 20712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  K )  e.  DivRing  /\  (flds  K )  e. CMetSp )  ->  K  e.  { RR ,  CC } )
21203expia 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  K )  e.  DivRing )  ->  (
(flds  K
)  e. CMetSp  ->  K  e. 
{ RR ,  CC } ) )
2214, 18, 21syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( (flds  K )  e. CMetSp  ->  K  e.  { RR ,  CC } ) )
23 elpri 3885 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  { RR ,  CC }  ->  ( K  =  RR  \/  K  =  CC ) )
24 oveq2 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  RR  ->  (flds  K )  =  (flds  RR ) )
25 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2625recld2 20232 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
27 cncms 20708 . . . . . . . . . . . . 13  |-fld  e. CMetSp
28 ax-resscn 9326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
29 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (flds  RR )  =  (flds  RR )
30 cnfldbas 17665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  ( Base ` fld )
3129, 30, 25cmsss 20702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (fld  e. CMetSp  /\  RR  C_  CC )  ->  ( (flds  RR )  e. CMetSp  <->  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) ) )
3227, 28, 31mp2an 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (flds  RR )  e. CMetSp 
<->  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
3326, 32mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  RR )  e. CMetSp
3424, 33syl6eqel 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  RR  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
35 oveq2 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  CC  ->  (flds  K )  =  (flds  CC ) )
3630ressid 14215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (fld  e. CMetSp  ->  (flds  CC )  =fld )
3727, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  (flds  CC )  =fld
3837, 27eqeltri 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  CC )  e. CMetSp
3935, 38syl6eqel 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  CC  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
4034, 39jaoi 379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  =  RR  \/  K  =  CC )  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
4123, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  { RR ,  CC }  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
4222, 41impbid1 203 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( (flds  K )  e. CMetSp  <->  K  e.  { RR ,  CC }
) )
4313, 42bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( F  e. CMetSp  <->  K  e.  { RR ,  CC } ) )
4443anbi2d 696 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp )  <->  ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC } ) ) )
4510, 44bitrd 253 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( W  e. Ban  <->  ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC } ) ) )
4645pm5.32ri 631 . . 3  |-  ( ( W  e. Ban  /\  W  e.  CPreHil )  <->  ( ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC } )  /\  W  e.  CPreHil ) )
472, 3, 463bitr4ri 278 . 2  |-  ( ( W  e. Ban  /\  W  e.  CPreHil )  <->  ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil  /\  K  e.  { RR ,  CC } ) )
481, 47bitri 249 1  |-  ( W  e.  CHil  <->  ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil  /\  K  e.  { RR ,  CC } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    C_ wss 3316   {cpr 3867   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   Basecbs 14156   ↾s cress 14157  Scalarcsca 14223   TopOpenctopn 14342   DivRingcdr 16755  SubRingcsubrg 16784   LVecclvec 17104  ℂfldccnfld 17661   Clsdccld 18461  NrmVeccnvc 20015   CPreHilccph 20526  CMetSpccms 20684  Bancbn 20685   CHilchl 20686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-grp 15524  df-minusg 15525  df-mulg 15527  df-subg 15657  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-mgp 16565  df-rng 16579  df-cring 16580  df-ur 16581  df-oppr 16648  df-dvdsr 16666  df-unit 16667  df-invr 16697  df-dvr 16708  df-drng 16757  df-subrg 16786  df-lvec 17105  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-phl 17896  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-cmp 18831  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-flim 19353  df-fcls 19355  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-nvc 20021  df-cncf 20295  df-cph 20528  df-cfil 20607  df-cmet 20609  df-cms 20687  df-bn 20688  df-hl 20689
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator