MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishil2 Structured version   Unicode version

Theorem ishil2 18877
Description: The predicate "is a Hilbert space" (over a *-division ring). (Contributed by NM, 7-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ishil2.v  |-  V  =  ( Base `  H
)
ishil2.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  H )
ishil2.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  H )
ishil2.c  |-  C  =  ( CSubSp `  H )
Assertion
Ref Expression
ishil2  |-  ( H  e.  Hil  <->  ( H  e.  PreHil  /\  A. s  e.  C  ( s  .(+)  (  ._|_  `  s ) )  =  V ) )
Distinct variable groups:    C, s    H, s
Allowed substitution hints:    .(+) ( s)    ._|_ ( s)    V( s)

Proof of Theorem ishil2
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . 3  |-  ( proj `  H )  =  (
proj `  H )
2 ishil2.c . . 3  |-  C  =  ( CSubSp `  H )
31, 2ishil 18876 . 2  |-  ( H  e.  Hil  <->  ( H  e.  PreHil  /\  dom  ( proj `  H )  =  C ) )
41, 2pjcss 18874 . . . . . 6  |-  ( H  e.  PreHil  ->  dom  ( proj `  H )  C_  C
)
5 eqss 3514 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( proj `  H
)  =  C  <->  ( dom  ( proj `  H )  C_  C  /\  C  C_  dom  ( proj `  H
) ) )
65baib 903 . . . . . 6  |-  ( dom  ( proj `  H
)  C_  C  ->  ( dom  ( proj `  H
)  =  C  <->  C  C_  dom  ( proj `  H )
) )
74, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( H  e.  PreHil  ->  ( dom  ( proj `  H )  =  C  <->  C  C_  dom  ( proj `  H ) ) )
8 dfss3 3489 . . . . 5  |-  ( C 
C_  dom  ( proj `  H )  <->  A. s  e.  C  s  e.  dom  ( proj `  H
) )
97, 8syl6bb 261 . . . 4  |-  ( H  e.  PreHil  ->  ( dom  ( proj `  H )  =  C  <->  A. s  e.  C  s  e.  dom  ( proj `  H ) ) )
10 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  H )  =  (
LSubSp `  H )
112, 10csslss 18849 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  PreHil  /\  s  e.  C )  ->  s  e.  ( LSubSp `  H )
)
12 ishil2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  H
)
13 ishil2.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ocv `  H )
14 ishil2.s . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  H )
1512, 10, 13, 14, 1pjdm2 18869 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  PreHil  ->  ( s  e. 
dom  ( proj `  H
)  <->  ( s  e.  ( LSubSp `  H )  /\  ( s  .(+)  (  ._|_  `  s ) )  =  V ) ) )
1615baibd 909 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  PreHil  /\  s  e.  ( LSubSp `  H )
)  ->  ( s  e.  dom  ( proj `  H
)  <->  ( s  .(+)  ( 
._|_  `  s ) )  =  V ) )
1711, 16syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  PreHil  /\  s  e.  C )  ->  (
s  e.  dom  ( proj `  H )  <->  ( s  .(+)  (  ._|_  `  s ) )  =  V ) )
1817ralbidva 2893 . . . 4  |-  ( H  e.  PreHil  ->  ( A. s  e.  C  s  e.  dom  ( proj `  H
)  <->  A. s  e.  C  ( s  .(+)  (  ._|_  `  s ) )  =  V ) )
199, 18bitrd 253 . . 3  |-  ( H  e.  PreHil  ->  ( dom  ( proj `  H )  =  C  <->  A. s  e.  C  ( s  .(+)  (  ._|_  `  s ) )  =  V ) )
2019pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( H  e.  PreHil  /\  dom  ( proj `  H )  =  C )  <->  ( H  e.  PreHil  /\  A. s  e.  C  ( s  .(+)  (  ._|_  `  s ) )  =  V ) )
213, 20bitri 249 1  |-  ( H  e.  Hil  <->  ( H  e.  PreHil  /\  A. s  e.  C  ( s  .(+)  (  ._|_  `  s ) )  =  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807    C_ wss 3471   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   LSSumclsm 16781   LSubSpclss 17705   PreHilcphl 18786   ocvcocv 18818   CSubSpccss 18819   projcpj 18858   Hilchs 18859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-pj1 16784  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-rnghom 17491  df-staf 17621  df-srng 17622  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lmhm 17795  df-lvec 17876  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-phl 18788  df-ocv 18821  df-css 18822  df-pj 18861  df-hil 18862
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  37833
  Copyright terms: Public domain W3C validator