MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishil2 Structured version   Unicode version

Theorem ishil2 18279
Description: The predicate "is a Hilbert space" (over a *-division ring). (Contributed by NM, 7-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ishil2.v  |-  V  =  ( Base `  H
)
ishil2.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  H )
ishil2.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  H )
ishil2.c  |-  C  =  ( CSubSp `  H )
Assertion
Ref Expression
ishil2  |-  ( H  e.  Hil  <->  ( H  e.  PreHil  /\  A. s  e.  C  ( s  .(+)  (  ._|_  `  s ) )  =  V ) )
Distinct variable groups:    C, s    H, s
Allowed substitution hints:    .(+) ( s)    ._|_ ( s)    V( s)

Proof of Theorem ishil2
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( proj `  H )  =  (
proj `  H )
2 ishil2.c . . 3  |-  C  =  ( CSubSp `  H )
31, 2ishil 18278 . 2  |-  ( H  e.  Hil  <->  ( H  e.  PreHil  /\  dom  ( proj `  H )  =  C ) )
41, 2pjcss 18276 . . . . . 6  |-  ( H  e.  PreHil  ->  dom  ( proj `  H )  C_  C
)
5 eqss 3482 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( proj `  H
)  =  C  <->  ( dom  ( proj `  H )  C_  C  /\  C  C_  dom  ( proj `  H
) ) )
65baib 896 . . . . . 6  |-  ( dom  ( proj `  H
)  C_  C  ->  ( dom  ( proj `  H
)  =  C  <->  C  C_  dom  ( proj `  H )
) )
74, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( H  e.  PreHil  ->  ( dom  ( proj `  H )  =  C  <->  C  C_  dom  ( proj `  H ) ) )
8 dfss3 3457 . . . . 5  |-  ( C 
C_  dom  ( proj `  H )  <->  A. s  e.  C  s  e.  dom  ( proj `  H
) )
97, 8syl6bb 261 . . . 4  |-  ( H  e.  PreHil  ->  ( dom  ( proj `  H )  =  C  <->  A. s  e.  C  s  e.  dom  ( proj `  H ) ) )
10 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  H )  =  (
LSubSp `  H )
112, 10csslss 18251 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  PreHil  /\  s  e.  C )  ->  s  e.  ( LSubSp `  H )
)
12 ishil2.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  H
)
13 ishil2.o . . . . . . . 8  |-  ._|_  =  ( ocv `  H )
14 ishil2.s . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  H )
1512, 10, 13, 14, 1pjdm2 18271 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  PreHil  ->  ( s  e. 
dom  ( proj `  H
)  <->  ( s  e.  ( LSubSp `  H )  /\  ( s  .(+)  (  ._|_  `  s ) )  =  V ) ) )
1615baibd 900 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  PreHil  /\  s  e.  ( LSubSp `  H )
)  ->  ( s  e.  dom  ( proj `  H
)  <->  ( s  .(+)  ( 
._|_  `  s ) )  =  V ) )
1711, 16syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  PreHil  /\  s  e.  C )  ->  (
s  e.  dom  ( proj `  H )  <->  ( s  .(+)  (  ._|_  `  s ) )  =  V ) )
1817ralbidva 2844 . . . 4  |-  ( H  e.  PreHil  ->  ( A. s  e.  C  s  e.  dom  ( proj `  H
)  <->  A. s  e.  C  ( s  .(+)  (  ._|_  `  s ) )  =  V ) )
199, 18bitrd 253 . . 3  |-  ( H  e.  PreHil  ->  ( dom  ( proj `  H )  =  C  <->  A. s  e.  C  ( s  .(+)  (  ._|_  `  s ) )  =  V ) )
2019pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( H  e.  PreHil  /\  dom  ( proj `  H )  =  C )  <->  ( H  e.  PreHil  /\  A. s  e.  C  ( s  .(+)  (  ._|_  `  s ) )  =  V ) )
213, 20bitri 249 1  |-  ( H  e.  Hil  <->  ( H  e.  PreHil  /\  A. s  e.  C  ( s  .(+)  (  ._|_  `  s ) )  =  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    C_ wss 3439   dom cdm 4951   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   LSSumclsm 16258   LSubSpclss 17146   PreHilcphl 18188   ocvcocv 18220   CSubSpccss 18221   projcpj 18260   Hilchs 18261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-mhm 15587  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-subg 15801  df-ghm 15868  df-cntz 15958  df-lsm 16260  df-pj1 16261  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-oppr 16848  df-rnghom 16939  df-staf 17063  df-srng 17064  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lmhm 17236  df-lvec 17317  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-phl 18190  df-ocv 18223  df-css 18224  df-pj 18263  df-hil 18264
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  35971
  Copyright terms: Public domain W3C validator