Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpoi Unicode version

Theorem isgrpoi 21739
 Description: Properties that determine a group operation. Read as . (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpi.1
isgrpi.2
isgrpi.3
isgrpi.4
isgrpi.5
isgrpi.6
isgrpi.7
Assertion
Ref Expression
isgrpoi
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem isgrpoi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgrpi.2 . 2
2 isgrpi.3 . . 3
32rgen3 2763 . 2
4 isgrpi.4 . . 3
5 isgrpi.5 . . . . 5
6 isgrpi.6 . . . . . 6
7 isgrpi.7 . . . . . 6
8 oveq1 6047 . . . . . . . 8
98eqeq1d 2412 . . . . . . 7
109rspcev 3012 . . . . . 6
116, 7, 10syl2anc 643 . . . . 5
125, 11jca 519 . . . 4
1312rgen 2731 . . 3
14 oveq1 6047 . . . . . . 7
1514eqeq1d 2412 . . . . . 6
16 eqeq2 2413 . . . . . . 7
1716rexbidv 2687 . . . . . 6
1815, 17anbi12d 692 . . . . 5
1918ralbidv 2686 . . . 4
2019rspcev 3012 . . 3
214, 13, 20mp2an 654 . 2
22 isgrpi.1 . . . . 5
2322, 22xpex 4949 . . . 4
24 fex 5928 . . . 4
251, 23, 24mp2an 654 . . 3
265eqcomd 2409 . . . . . . . . 9
27 rspceov 6075 . . . . . . . . . 10
284, 27mp3an1 1266 . . . . . . . . 9
2926, 28mpdan 650 . . . . . . . 8
3029rgen 2731 . . . . . . 7
31 foov 6179 . . . . . . 7
321, 30, 31mpbir2an 887 . . . . . 6
33 forn 5615 . . . . . 6
3432, 33ax-mp 8 . . . . 5
3534eqcomi 2408 . . . 4
3635isgrpo 21737 . . 3
3725, 36ax-mp 8 . 2
381, 3, 21, 37mpbir3an 1136 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  wrex 2667  cvv 2916   cxp 4835   crn 4838  wf 5409  wfo 5411  (class class class)co 6040  cgr 21727 This theorem is referenced by:  grposn  21756  issubgoi  21851  cnaddablo  21891  ablomul  21896  hilablo  22615 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-grpo 21732
 Copyright terms: Public domain W3C validator