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Theorem isgrpo2 21738
Description: The predicate "is a group operation." (Contributed by NM, 23-Oct-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isgrp.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
isgrpo2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, n, x, y, z, G    n, X, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, u, n)

Proof of Theorem isgrpo2
StepHypRef Expression
1 isgrp.1 . . . 4  |-  X  =  ran  G
21isgrpo 21737 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
3 3anass 940 . . 3  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
42, 3syl6bb 253 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) ) )
5 ffn 5550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  ->  G  Fn  ( X  X.  X ) )
65ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  G  Fn  ( X  X.  X
) )
7 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  X )
8 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
9 fnovrn 6180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  Fn  ( X  X.  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G y )  e.  ran  G
)
106, 7, 8, 9syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
x G y )  e.  ran  G )
1110, 1syl6eleqr 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
x G y )  e.  X )
1211biantrurd 495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  ( (
x G y )  e.  X  /\  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
1312ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  X  ( (
x G y )  e.  X  /\  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
1413ralbidva 2682 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y )  e.  X  /\  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
1514ralbidva 2682 . . . . 5  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
16 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  n  ->  (
y G x )  =  ( n G x ) )
1716eqeq1d 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  n  ->  (
( y G x )  =  u  <->  ( n G x )  =  u ) )
1817cbvrexv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  X  ( y G x )  =  u  <->  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u )
1918anbi2i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )  <->  ( (
u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  (
n G x )  =  u ) )
2019ralbii 2690 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )  <->  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  (
n G x )  =  u ) )
2120rexbii 2691 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )  <->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  (
n G x )  =  u ) )
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  -> 
( E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )  <->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  (
n G x )  =  u ) ) )
2315, 22anbi12d 692 . . . 4  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  -> 
( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) )  <-> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u ) ) ) )
2423pm5.32i 619 . . 3  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u ) ) ) )
25 3anass 940 . . 3  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u ) )  <-> 
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u ) ) ) )
2624, 25bitr4i 244 . 2  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u ) ) )
274, 26syl6bb 253 1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    X. cxp 4835   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409  (class class class)co 6040   GrpOpcgr 21727
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fo 5419  df-fv 5421  df-ov 6043  df-grpo 21732
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