MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpo Structured version   Unicode version

Theorem isgrpo 25866
Description: The predicate "is a group operation." Note that 
X is the base set of the group. (Contributed by NM, 10-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isgrp.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
isgrpo  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, y, z, G    u, X, x, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, u)

Proof of Theorem isgrpo
Dummy variables  g 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 feq1 5671 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
g : ( t  X.  t ) --> t  <-> 
G : ( t  X.  t ) --> t ) )
2 oveq 6255 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) g z )  =  ( ( x g y ) G z ) )
3 oveq 6255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  (
x g y )  =  ( x G y ) )
43oveq1d 6264 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) G z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
52, 4eqtrd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) g z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
6 oveq 6255 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y g z ) )  =  ( x G ( y g z ) ) )
7 oveq 6255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  (
y g z )  =  ( y G z ) )
87oveq2d 6265 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x G ( y g z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
96, 8eqtrd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y g z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
105, 9eqeq12d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
1110ralbidv 2804 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z  e.  t 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
12112ralbidv 2809 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
13 oveq 6255 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
u g x )  =  ( u G x ) )
1413eqeq1d 2430 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( u g x )  =  x  <->  ( u G x )  =  x ) )
15 oveq 6255 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
y g x )  =  ( y G x ) )
1615eqeq1d 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( y g x )  =  u  <->  ( y G x )  =  u ) )
1716rexbidv 2878 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  ( E. y  e.  t 
( y g x )  =  u  <->  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )
1814, 17anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y g x )  =  u )  <->  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) )
1918rexralbidv 2886 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( E. u  e.  t  A. x  e.  t 
( ( u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y g x )  =  u )  <->  E. u  e.  t 
A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) )
201, 12, 193anbi123d 1335 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( g : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y g x )  =  u ) )  <-> 
( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y G x )  =  u ) ) ) )
2120exbidv 1762 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( E. t ( g : ( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y g x )  =  u ) )  <->  E. t ( G :
( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) ) )
22 df-grpo 25861 . . . 4  |-  GrpOp  =  {
g  |  E. t
( g : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y g x )  =  u ) ) }
2321, 22elab2g 3162 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  E. t
( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y G x )  =  u ) ) ) )
24 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  -> 
( u G x )  =  x )
2524ralimi 2758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  ->  A. x  e.  t 
( u G x )  =  x )
26 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
u G x )  =  ( u G z ) )
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
2826, 27eqeq12d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
( u G x )  =  x  <->  ( u G z )  =  z ) )
29 eqcom 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u G z )  =  z  <->  z  =  ( u G z ) )
3028, 29syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( u G x )  =  x  <->  z  =  ( u G z ) ) )
3130rspcv 3121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  t  ->  ( A. x  e.  t 
( u G x )  =  x  -> 
z  =  ( u G z ) ) )
32 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
u G y )  =  ( u G z ) )
3332eqeq2d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  (
z  =  ( u G y )  <->  z  =  ( u G z ) ) )
3433rspcev 3125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  t  /\  z  =  ( u G z ) )  ->  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) )
3534ex 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  t  ->  (
z  =  ( u G z )  ->  E. y  e.  t 
z  =  ( u G y ) ) )
3631, 35syld 45 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  t  ->  ( A. x  e.  t 
( u G x )  =  x  ->  E. y  e.  t 
z  =  ( u G y ) ) )
3725, 36syl5 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  t  ->  ( A. x  e.  t 
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  ->  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) ) )
3837reximdv 2838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  t  ->  ( E. u  e.  t  A. x  e.  t 
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  ->  E. u  e.  t  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) ) )
3938impcom 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. u  e.  t 
A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  /\  z  e.  t )  ->  E. u  e.  t  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) )
4039ralrimiva 2779 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  ->  A. z  e.  t  E. u  e.  t  E. y  e.  t 
z  =  ( u G y ) )
4140anim2i 571 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  -> 
( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. z  e.  t  E. u  e.  t  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) ) )
42 foov 6401 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( t  X.  t ) -onto-> t  <->  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. z  e.  t  E. u  e.  t  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) ) )
4341, 42sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  ->  G : ( t  X.  t ) -onto-> t )
44 forn 5756 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( t  X.  t ) -onto-> t  ->  ran  G  =  t )
4544eqcomd 2434 . . . . . . 7  |-  ( G : ( t  X.  t ) -onto-> t  -> 
t  =  ran  G
)
4643, 45syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  -> 
t  =  ran  G
)
47463adant2 1024 . . . . 5  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  -> 
t  =  ran  G
)
4847pm4.71ri 637 . . . 4  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  <->  ( t  =  ran  G  /\  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) ) )
4948exbii 1712 . . 3  |-  ( E. t ( G :
( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  <->  E. t ( t  =  ran  G  /\  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) ) )
5023, 49syl6bb 264 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  E. t
( t  =  ran  G  /\  ( G :
( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) ) ) )
51 rnexg 6683 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  ran  G  e.  _V )
52 isgrp.1 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
5352eqeq2i 2440 . . . . 5  |-  ( t  =  X  <->  t  =  ran  G )
54 xpeq1 4810 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  (
t  X.  t )  =  ( X  X.  t ) )
55 xpeq2 4811 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  ( X  X.  t )  =  ( X  X.  X
) )
5654, 55eqtrd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  (
t  X.  t )  =  ( X  X.  X ) )
5756feq2d 5676 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( G : ( t  X.  t ) --> t  <->  G :
( X  X.  X
) --> t ) )
58 feq3 5673 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( G : ( X  X.  X ) --> t  <->  G :
( X  X.  X
) --> X ) )
5957, 58bitrd 256 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  ( G : ( t  X.  t ) --> t  <->  G :
( X  X.  X
) --> X ) )
60 raleq 2964 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  ( A. z  e.  t 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
6160raleqbi1dv 2972 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( A. y  e.  t  A. z  e.  t 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
6261raleqbi1dv 2972 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
63 rexeq 2965 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  ( E. y  e.  t 
( y G x )  =  u  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
6463anbi2d 708 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  (
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  <->  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
6564raleqbi1dv 2972 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( A. x  e.  t 
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  <->  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
6665rexeqbi1dv 2973 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  ( E. u  e.  t  A. x  e.  t 
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  <->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
6759, 62, 663anbi123d 1335 . . . . 5  |-  ( t  =  X  ->  (
( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y G x )  =  u ) )  <-> 
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) ) )
6853, 67sylbir 216 . . . 4  |-  ( t  =  ran  G  -> 
( ( G :
( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  <-> 
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) ) )
6968ceqsexgv 3146 . . 3  |-  ( ran 
G  e.  _V  ->  ( E. t ( t  =  ran  G  /\  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) )  <-> 
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) ) )
7051, 69syl 17 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( E. t ( t  =  ran  G  /\  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) )  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
7150, 70bitrd 256 1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022    X. cxp 4794   ran crn 4797   -->wf 5540   -onto->wfo 5542  (class class class)co 6249   GrpOpcgr 25856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-fo 5550  df-fv 5552  df-ov 6252  df-grpo 25861
This theorem is referenced by:  isgrpo2  25867  isgrpoi  25868  grpofo  25869  grpolidinv  25871  grpoass  25873  isgrp2d  25905  isgrpda  25967  grpomndo  26016
  Copyright terms: Public domain W3C validator