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Theorem isgrpo 24890
Description: The predicate "is a group operation." Note that 
X is the base set of the group. (Contributed by NM, 10-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isgrp.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
isgrpo  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, y, z, G    u, X, x, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, u)

Proof of Theorem isgrpo
Dummy variables  g 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 feq1 5712 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
g : ( t  X.  t ) --> t  <-> 
G : ( t  X.  t ) --> t ) )
2 oveq 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) g z )  =  ( ( x g y ) G z ) )
3 oveq 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  (
x g y )  =  ( x G y ) )
43oveq1d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) G z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
52, 4eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) g z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
6 oveq 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y g z ) )  =  ( x G ( y g z ) ) )
7 oveq 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  (
y g z )  =  ( y G z ) )
87oveq2d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x G ( y g z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
96, 8eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y g z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
105, 9eqeq12d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
1110ralbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z  e.  t 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
12112ralbidv 2908 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
13 oveq 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
u g x )  =  ( u G x ) )
1413eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( u g x )  =  x  <->  ( u G x )  =  x ) )
15 oveq 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
y g x )  =  ( y G x ) )
1615eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( y g x )  =  u  <->  ( y G x )  =  u ) )
1716rexbidv 2973 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  ( E. y  e.  t 
( y g x )  =  u  <->  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )
1814, 17anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y g x )  =  u )  <->  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) )
1918rexralbidv 2981 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( E. u  e.  t  A. x  e.  t 
( ( u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y g x )  =  u )  <->  E. u  e.  t 
A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) )
201, 12, 193anbi123d 1299 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( g : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y g x )  =  u ) )  <-> 
( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y G x )  =  u ) ) ) )
2120exbidv 1690 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( E. t ( g : ( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y g x )  =  u ) )  <->  E. t ( G :
( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) ) )
22 df-grpo 24885 . . . 4  |-  GrpOp  =  {
g  |  E. t
( g : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y g x )  =  u ) ) }
2321, 22elab2g 3252 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  E. t
( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y G x )  =  u ) ) ) )
24 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  -> 
( u G x )  =  x )
2524ralimi 2857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  ->  A. x  e.  t 
( u G x )  =  x )
26 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
u G x )  =  ( u G z ) )
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
2826, 27eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
( u G x )  =  x  <->  ( u G z )  =  z ) )
29 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u G z )  =  z  <->  z  =  ( u G z ) )
3028, 29syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( u G x )  =  x  <->  z  =  ( u G z ) ) )
3130rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  t  ->  ( A. x  e.  t 
( u G x )  =  x  -> 
z  =  ( u G z ) ) )
32 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
u G y )  =  ( u G z ) )
3332eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  (
z  =  ( u G y )  <->  z  =  ( u G z ) ) )
3433rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  t  /\  z  =  ( u G z ) )  ->  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) )
3534ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  t  ->  (
z  =  ( u G z )  ->  E. y  e.  t 
z  =  ( u G y ) ) )
3631, 35syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  t  ->  ( A. x  e.  t 
( u G x )  =  x  ->  E. y  e.  t 
z  =  ( u G y ) ) )
3725, 36syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  t  ->  ( A. x  e.  t 
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  ->  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) ) )
3837reximdv 2937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  t  ->  ( E. u  e.  t  A. x  e.  t 
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  ->  E. u  e.  t  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) ) )
3938impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. u  e.  t 
A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  /\  z  e.  t )  ->  E. u  e.  t  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) )
4039ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  ->  A. z  e.  t  E. u  e.  t  E. y  e.  t 
z  =  ( u G y ) )
4140anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  -> 
( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. z  e.  t  E. u  e.  t  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) ) )
42 foov 6432 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( t  X.  t ) -onto-> t  <->  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. z  e.  t  E. u  e.  t  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) ) )
4341, 42sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  ->  G : ( t  X.  t ) -onto-> t )
44 forn 5797 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( t  X.  t ) -onto-> t  ->  ran  G  =  t )
4544eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( G : ( t  X.  t ) -onto-> t  -> 
t  =  ran  G
)
4643, 45syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  -> 
t  =  ran  G
)
47463adant2 1015 . . . . 5  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  -> 
t  =  ran  G
)
4847pm4.71ri 633 . . . 4  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  <->  ( t  =  ran  G  /\  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) ) )
4948exbii 1644 . . 3  |-  ( E. t ( G :
( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  <->  E. t ( t  =  ran  G  /\  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) ) )
5023, 49syl6bb 261 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  E. t
( t  =  ran  G  /\  ( G :
( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) ) ) )
51 rnexg 6716 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  ran  G  e.  _V )
52 isgrp.1 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
5352eqeq2i 2485 . . . . 5  |-  ( t  =  X  <->  t  =  ran  G )
54 xpeq1 5013 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  (
t  X.  t )  =  ( X  X.  t ) )
55 xpeq2 5014 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  ( X  X.  t )  =  ( X  X.  X
) )
5654, 55eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  (
t  X.  t )  =  ( X  X.  X ) )
5756feq2d 5717 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( G : ( t  X.  t ) --> t  <->  G :
( X  X.  X
) --> t ) )
58 feq3 5714 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( G : ( X  X.  X ) --> t  <->  G :
( X  X.  X
) --> X ) )
5957, 58bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  ( G : ( t  X.  t ) --> t  <->  G :
( X  X.  X
) --> X ) )
60 raleq 3058 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  ( A. z  e.  t 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
6160raleqbi1dv 3066 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( A. y  e.  t  A. z  e.  t 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
6261raleqbi1dv 3066 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
63 rexeq 3059 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  ( E. y  e.  t 
( y G x )  =  u  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
6463anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  (
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  <->  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
6564raleqbi1dv 3066 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( A. x  e.  t 
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  <->  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
6665rexeqbi1dv 3067 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  ( E. u  e.  t  A. x  e.  t 
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  <->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
6759, 62, 663anbi123d 1299 . . . . 5  |-  ( t  =  X  ->  (
( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y G x )  =  u ) )  <-> 
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) ) )
6853, 67sylbir 213 . . . 4  |-  ( t  =  ran  G  -> 
( ( G :
( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  <-> 
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) ) )
6968ceqsexgv 3236 . . 3  |-  ( ran 
G  e.  _V  ->  ( E. t ( t  =  ran  G  /\  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) )  <-> 
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) ) )
7051, 69syl 16 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( E. t ( t  =  ran  G  /\  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) )  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
7150, 70bitrd 253 1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    X. cxp 4997   ran crn 5000   -->wf 5583   -onto->wfo 5585  (class class class)co 6283   GrpOpcgr 24880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-fo 5593  df-fv 5595  df-ov 6286  df-grpo 24885
This theorem is referenced by:  isgrpo2  24891  isgrpoi  24892  grpofo  24893  grpolidinv  24895  grpoass  24897  isgrp2d  24929  isgrpda  24991  grpomndo  25040
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