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Theorem isgrpda 25122
Description: Properties that determine a group operation. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpda.1  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
isgrpda.2  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
isgrpda.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
isgrpda.4  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
isgrpda.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( U G x )  =  x )
isgrpda.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. n  e.  X  ( n G x )  =  U )
Assertion
Ref Expression
isgrpda  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    n, G, x, y, z    n, X, x, y, z    U, n, x, y, z
Allowed substitution hint:    ph( n)

Proof of Theorem isgrpda
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgrpda.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
2 isgrpda.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
32ralrimivvva 2889 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
4 isgrpda.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
5 isgrpda.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( U G x )  =  x )
6 isgrpda.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. n  e.  X  ( n G x )  =  U )
7 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  (
y G x )  =  ( n G x ) )
87eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  n  ->  (
( y G x )  =  U  <->  ( n G x )  =  U ) )
98cbvrexv 3094 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  X  ( y G x )  =  U  <->  E. n  e.  X  ( n G x )  =  U )
106, 9sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U )
115, 10jca 532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) )
1211ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) )
13 oveq1 6302 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
u G x )  =  ( U G x ) )
1413eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( u G x )  =  x  <->  ( U G x )  =  x ) )
15 eqeq2 2482 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( y G x )  =  u  <->  ( y G x )  =  U ) )
1615rexbidv 2978 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( E. y  e.  X  ( y G x )  =  u  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) )
1714, 16anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )  <->  ( ( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) ) )
1817ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )  <->  A. x  e.  X  ( ( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) ) )
1918rspcev 3219 . . . 4  |-  ( ( U  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( ( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) )  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
204, 12, 19syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
214adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  U  e.  X )
22 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
235eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  =  ( U G x ) )
24 rspceov 6332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  X  /\  x  e.  X  /\  x  =  ( U G x ) )  ->  E. y  e.  X  E. z  e.  X  x  =  ( y G z ) )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  X  E. z  e.  X  x  =  ( y G z ) )
2625ralrimiva 2881 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  X  E. z  e.  X  x  =  ( y G z ) )
27 foov 6444 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( X  X.  X ) -onto-> X  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  X  E. z  e.  X  x  =  ( y G z ) ) )
281, 26, 27sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) -onto-> X )
29 forn 5804 . . . . . . 7  |-  ( G : ( X  X.  X ) -onto-> X  ->  ran  G  =  X )
3028, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  G  =  X )
3130, 30xpeq12d 5030 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ran  G  X.  ran  G )  =  ( X  X.  X ) )
3231, 30feq23d 5732 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G  <->  G :
( X  X.  X
) --> X ) )
3330raleqdv 3069 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
3430, 33raleqbidv 3077 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
3530, 34raleqbidv 3077 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
3630rexeqdv 3070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
ran  G ( y G x )  =  u  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
3736anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
3830, 37raleqbidv 3077 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
3930, 38rexeqbidv 3078 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u  e. 
ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
4032, 35, 393anbi123d 1299 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G :
( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e. 
ran  G ( y G x )  =  u ) )  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
411, 3, 20, 40mpbir3and 1179 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e. 
ran  G ( y G x )  =  u ) ) )
42 isgrpda.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
43 xpexg 6597 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
4442, 42, 43syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
45 fex 6144 . . . 4  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( X  X.  X )  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
461, 44, 45syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
47 eqid 2467 . . . 4  |-  ran  G  =  ran  G
4847isgrpo 25021 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran 
G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u ) ) ) )
4946, 48syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran 
G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u ) ) ) )
5041, 49mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    X. cxp 5003   ran crn 5006   -->wf 5590   -onto->wfo 5592  (class class class)co 6295   GrpOpcgr 25011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-grpo 25016
This theorem is referenced by:  isgrpod  25123  isabloda  25124  isdrngo2  30288
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