Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpda Structured version   Unicode version

Theorem isgrpda 25426
 Description: Properties that determine a group operation. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpda.1
isgrpda.2
isgrpda.3
isgrpda.4
isgrpda.5
isgrpda.6
Assertion
Ref Expression
isgrpda
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isgrpda
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgrpda.2 . . 3
2 isgrpda.3 . . . 4
32ralrimivvva 2879 . . 3
4 isgrpda.4 . . . 4
5 isgrpda.5 . . . . . 6
6 isgrpda.6 . . . . . . 7
7 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
87eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
98cbvrexv 3085 . . . . . . 7
106, 9sylibr 212 . . . . . 6
115, 10jca 532 . . . . 5
1211ralrimiva 2871 . . . 4
13 oveq1 6303 . . . . . . . 8
1413eqeq1d 2459 . . . . . . 7
15 eqeq2 2472 . . . . . . . 8
1615rexbidv 2968 . . . . . . 7
1714, 16anbi12d 710 . . . . . 6
1817ralbidv 2896 . . . . 5
1918rspcev 3210 . . . 4
204, 12, 19syl2anc 661 . . 3
214adantr 465 . . . . . . . . . 10
22 simpr 461 . . . . . . . . . 10
235eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10
24 rspceov 6335 . . . . . . . . . 10
2521, 22, 23, 24syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
2625ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
27 foov 6448 . . . . . . . 8
281, 26, 27sylanbrc 664 . . . . . . 7
29 forn 5804 . . . . . . 7
3028, 29syl 16 . . . . . 6
3130sqxpeqd 5034 . . . . 5
3231, 30feq23d 5732 . . . 4
3330raleqdv 3060 . . . . . 6
3430, 33raleqbidv 3068 . . . . 5
3530, 34raleqbidv 3068 . . . 4
3630rexeqdv 3061 . . . . . . 7
3736anbi2d 703 . . . . . 6
3830, 37raleqbidv 3068 . . . . 5
3930, 38rexeqbidv 3069 . . . 4
4032, 35, 393anbi123d 1299 . . 3
411, 3, 20, 40mpbir3and 1179 . 2
42 isgrpda.1 . . . . 5
43 xpexg 6601 . . . . 5
4442, 42, 43syl2anc 661 . . . 4
45 fex 6146 . . . 4
461, 44, 45syl2anc 661 . . 3
47 eqid 2457 . . . 4
4847isgrpo 25325 . . 3
4946, 48syl 16 . 2
5041, 49mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808  cvv 3109   cxp 5006   crn 5009  wf 5590  wfo 5592  (class class class)co 6296  cgr 25315 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-grpo 25320 This theorem is referenced by:  isgrpod  25427  isabloda  25428  isdrngo2  30566
 Copyright terms: Public domain W3C validator