Theorem isgrp2d 24941

Description: An alternate way to show a group operation. Exercise 1 of [Herstein] p. 57. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isgrp2d.1	|- ( ph -> X e. V )
isgrp2d.2	|- ( ph -> X =/= (/) )
isgrp2d.3	|- ( ph -> G : ( X X. X ) --> X )
isgrp2d.4	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
isgrp2d.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> E. z e. X ( z G x ) = y )
isgrp2d.6	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> E. z e. X ( x G z ) = y )

Assertion

Ref	Expression
isgrp2d	|- ( ph -> G e. GrpOp )

Distinct variable groups:   x, y, z, G   x, X, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   V( x, y, z)

Proof of Theorem isgrp2d

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgrp2d.3	. . 3 |- ( ph -> G : ( X X. X ) --> X )
2		isgrp2d.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X =/= (/) )
3	2	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> X =/= (/) )
4		isgrp2d.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> E. z e. X ( x G z ) = y )
5	4	anass1rs 805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ x e. X ) -> E. z e. X ( x G z ) = y )
6		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x G z ) = y <-> y = ( x G z ) )
7	6	rexbii 2965	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. X ( x G z ) = y <-> E. z e. X y = ( x G z ) )
8	5, 7	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ x e. X ) -> E. z e. X y = ( x G z ) )
9	8	ralrimiva 2878	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> A. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) )
10		r19.2z 3917	. . . . . . . . 9 |- ( ( X =/= (/) /\ A. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) ) -> E. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) )
11	3, 9, 10	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> E. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) )
12	11	ralrimiva 2878	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. X E. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) )
13		foov 6433	. . . . . . 7 |- ( G : ( X X. X ) -onto-> X <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. y e. X E. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) ) )
14	1, 12, 13	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ph -> G : ( X X. X ) -onto-> X )
15		forn 5798	. . . . . 6 |- ( G : ( X X. X ) -onto-> X -> ran G = X )
16	14, 15	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ran G = X )
17	16, 16	xpeq12d 5024	. . . 4 |- ( ph -> ( ran G X. ran G ) = ( X X. X ) )
18	17, 16	feq23d 5726	. . 3 |- ( ph -> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G <-> G : ( X X. X ) --> X ) )
19	1, 18	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> G : ( ran G X. ran G ) --> ran G )
20		isgrp2d.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
21	20	ralrimivvva 2886	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
22	16	raleqdv 3064	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
23	16, 22	raleqbidv 3072	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
24	16, 23	raleqbidv 3072	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
25	21, 24	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
26		n0 3794	. . . . 5 |- ( X =/= (/) <-> E. w w e. X )
27	2, 26	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> E. w w e. X )
28		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> w e. X )
29	28, 28	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> ( w e. X /\ w e. X ) )
30		isgrp2d.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> E. z e. X ( z G x ) = y )
31	30	ralrimivva 2885	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y )
32	31	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y )
33		oveq2 6292	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( z G x ) = ( z G w ) )
34	33	eqeq1d 2469	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( z G x ) = y <-> ( z G w ) = y ) )
35	34	rexbidv 2973	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( E. z e. X ( z G x ) = y <-> E. z e. X ( z G w ) = y ) )
36		eqeq2 2482	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( z G w ) = y <-> ( z G w ) = w ) )
37	36	rexbidv 2973	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( E. z e. X ( z G w ) = y <-> E. z e. X ( z G w ) = w ) )
38		oveq1 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> ( z G w ) = ( u G w ) )
39	38	eqeq1d 2469	. . . . . . . . 9 |- ( z = u -> ( ( z G w ) = w <-> ( u G w ) = w ) )
40	39	cbvrexv 3089	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. X ( z G w ) = w <-> E. u e. X ( u G w ) = w )
41	37, 40	syl6bb 261	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( E. z e. X ( z G w ) = y <-> E. u e. X ( u G w ) = w ) )
42	35, 41	rspc2v 3223	. . . . . 6 |- ( ( w e. X /\ w e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y -> E. u e. X ( u G w ) = w ) )
43	29, 32, 42	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> E. u e. X ( u G w ) = w )
44	4	ralrimivva 2885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( x G z ) = y )
45		oveq1 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = w -> ( x G z ) = ( w G z ) )
46	45	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( ( x G z ) = y <-> ( w G z ) = y ) )
47	46	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( E. z e. X ( x G z ) = y <-> E. z e. X ( w G z ) = y ) )
48	47	ralbidv 2903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( A. y e. X E. z e. X ( x G z ) = y <-> A. y e. X E. z e. X ( w G z ) = y ) )
49	48	rspccva 3213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( x G z ) = y /\ w e. X ) -> A. y e. X E. z e. X ( w G z ) = y )
50	44, 49	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> A. y e. X E. z e. X ( w G z ) = y )
51		eqeq2 2482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( ( w G z ) = y <-> ( w G z ) = x ) )
52	51	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( E. z e. X ( w G z ) = y <-> E. z e. X ( w G z ) = x ) )
53		oveq2 6292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = v -> ( w G z ) = ( w G v ) )
54	53	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = v -> ( ( w G z ) = x <-> ( w G v ) = x ) )
55	54	cbvrexv 3089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. z e. X ( w G z ) = x <-> E. v e. X ( w G v ) = x )
56	52, 55	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( E. z e. X ( w G z ) = y <-> E. v e. X ( w G v ) = x ) )
57	56	rspccva 3213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. X E. z e. X ( w G z ) = y /\ x e. X ) -> E. v e. X ( w G v ) = x )
58	50, 57	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ x e. X ) -> E. v e. X ( w G v ) = x )
59	58	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> E. v e. X ( w G v ) = x )
60	21	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
61		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> u e. X )
62		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> w e. X )
63		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> v e. X )
64		oveq1 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = u -> ( x G y ) = ( u G y ) )
65	64	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = u -> ( ( x G y ) G z ) = ( ( u G y ) G z ) )
66		oveq1 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = u -> ( x G ( y G z ) ) = ( u G ( y G z ) ) )
67	65, 66	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = u -> ( ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> ( ( u G y ) G z ) = ( u G ( y G z ) ) ) )
68		oveq2 6292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = w -> ( u G y ) = ( u G w ) )
69	68	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = w -> ( ( u G y ) G z ) = ( ( u G w ) G z ) )
70		oveq1 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = w -> ( y G z ) = ( w G z ) )
71	70	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = w -> ( u G ( y G z ) ) = ( u G ( w G z ) ) )
72	69, 71	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = w -> ( ( ( u G y ) G z ) = ( u G ( y G z ) ) <-> ( ( u G w ) G z ) = ( u G ( w G z ) ) ) )
73		oveq2 6292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = v -> ( ( u G w ) G z ) = ( ( u G w ) G v ) )
74	53	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = v -> ( u G ( w G z ) ) = ( u G ( w G v ) ) )
75	73, 74	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = v -> ( ( ( u G w ) G z ) = ( u G ( w G z ) ) <-> ( ( u G w ) G v ) = ( u G ( w G v ) ) ) )
76	67, 72, 75	rspc3v 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. X /\ w e. X /\ v e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) -> ( ( u G w ) G v ) = ( u G ( w G v ) ) ) )
77	61, 62, 63, 76	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) -> ( ( u G w ) G v ) = ( u G ( w G v ) ) ) )
78	60, 77	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( ( u G w ) G v ) = ( u G ( w G v ) ) )
79		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( u G w ) = w )
80	79	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( ( u G w ) G v ) = ( w G v ) )
81	78, 80	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( u G ( w G v ) ) = ( w G v ) )
82	81	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( u G w ) = w ) /\ v e. X ) -> ( u G ( w G v ) ) = ( w G v ) )
83		oveq2 6292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w G v ) = x -> ( u G ( w G v ) ) = ( u G x ) )
84		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w G v ) = x -> ( w G v ) = x )
85	83, 84	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w G v ) = x -> ( ( u G ( w G v ) ) = ( w G v ) <-> ( u G x ) = x ) )
86	82, 85	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( u G w ) = w ) /\ v e. X ) -> ( ( w G v ) = x -> ( u G x ) = x ) )
87	86	rexlimdva 2955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( u G w ) = w ) -> ( E. v e. X ( w G v ) = x -> ( u G x ) = x ) )
88	87	adantrl 715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> ( E. v e. X ( w G v ) = x -> ( u G x ) = x ) )
89	59, 88	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> ( u G x ) = x )
90		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> u e. X )
91	30	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> E. z e. X ( z G x ) = y )
92	91	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y )
93	92	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y )
94		eqeq2 2482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = u -> ( ( z G x ) = y <-> ( z G x ) = u ) )
95	94	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = u -> ( E. z e. X ( z G x ) = y <-> E. z e. X ( z G x ) = u ) )
96	95	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. X -> ( A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y -> E. z e. X ( z G x ) = u ) )
97	90, 93, 96	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> E. z e. X ( z G x ) = u )
98		oveq1 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( z G x ) = ( y G x ) )
99	98	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( ( z G x ) = u <-> ( y G x ) = u ) )
100	99	cbvrexv 3089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. X ( z G x ) = u <-> E. y e. X ( y G x ) = u )
101	97, 100	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> E. y e. X ( y G x ) = u )
102	101	adantllr 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> E. y e. X ( y G x ) = u )
103	102	adantrr 716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> E. y e. X ( y G x ) = u )
104	89, 103	jca 532	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) )
105	104	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> ( ( u G w ) = w -> ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
106	105	ralrimdva 2882	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) -> ( ( u G w ) = w -> A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
107	106	reximdva 2938	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> ( E. u e. X ( u G w ) = w -> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
108	43, 107	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) )
109	27, 108	exlimddv 1702	. . 3 |- ( ph -> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) )
110	16	rexeqdv 3065	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. y e. ran G ( y G x ) = u <-> E. y e. X ( y G x ) = u ) )
111	110	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
112	16, 111	raleqbidv 3072	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
113	16, 112	rexeqbidv 3073	. . 3 |- ( ph -> ( E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
114	109, 113	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) )
115		isgrp2d.1	. . . . 5 |- ( ph -> X e. V )
116		xpexg 6586	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ X e. V ) -> ( X X. X ) e. _V )
117	115, 115, 116	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( X X. X ) e. _V )
118		fex 6133	. . . 4 |- ( ( G : ( X X. X ) --> X /\ ( X X. X ) e. _V ) -> G e. _V )
119	1, 117, 118	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> G e. _V )
120		eqid 2467	. . . 4 |- ran G = ran G
121	120	isgrpo 24902	. . 3 |- ( G e. _V -> ( G e. GrpOp <-> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) ) ) )
122	119, 121	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( G e. GrpOp <-> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) ) ) )
123	19, 25, 114, 122	mpbir3and 1179	1 |- ( ph -> G e. GrpOp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   X. cxp 4997   ran crn 5000   -->wf 5584   -onto->wfo 5586  (class class class)co 6284   GrpOpcgr 24892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-grpo 24897

This theorem is referenced by:  isgrp2i  24942  ghgrp  25074