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Theorem isgrp2d 21776
Description: An alternate way to show a group operation. Exercise 1 of [Herstein] p. 57. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrp2d.1  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
isgrp2d.2  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
isgrp2d.3  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
isgrp2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
isgrp2d.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y )
isgrp2d.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. z  e.  X  ( x G z )  =  y )
Assertion
Ref Expression
isgrp2d  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, X, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    V( x, y, z)

Proof of Theorem isgrp2d
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgrp2d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
2 isgrp2d.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
32adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  X  =/=  (/) )
4 isgrp2d.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. z  e.  X  ( x G z )  =  y )
54anass1rs 783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  x  e.  X )  ->  E. z  e.  X  ( x G z )  =  y )
6 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G z )  =  y  <->  y  =  ( x G z ) )
76rexbii 2691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  X  ( x G z )  =  y  <->  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) )
85, 7sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  x  e.  X )  ->  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) )
98ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  A. x  e.  X  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) )
10 r19.2z 3677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  A. x  e.  X  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) )  ->  E. x  e.  X  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) )
113, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  E. x  e.  X  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) )
1211ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  X  E. x  e.  X  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) )
13 foov 6179 . . . . . . 7  |-  ( G : ( X  X.  X ) -onto-> X  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. y  e.  X  E. x  e.  X  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) ) )
141, 12, 13sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) -onto-> X )
15 forn 5615 . . . . . 6  |-  ( G : ( X  X.  X ) -onto-> X  ->  ran  G  =  X )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  G  =  X )
1716, 16xpeq12d 4862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  G  X.  ran  G )  =  ( X  X.  X ) )
1817, 16feq23d 5547 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G  <->  G :
( X  X.  X
) --> X ) )
191, 18mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( ran 
G  X.  ran  G
) --> ran  G )
20 isgrp2d.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
2120ralrimivvva 2759 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
2216raleqdv 2870 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2316, 22raleqbidv 2876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2416, 23raleqbidv 2876 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2521, 24mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
26 n0 3597 . . . . 5  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  X )
272, 26sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. w  w  e.  X )
28 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  X )
2928, 28jca 519 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  X  /\  w  e.  X )
)
30 isgrp2d.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y )
3130ralrimivva 2758 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y )
3231adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y )
33 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
z G x )  =  ( z G w ) )
3433eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( z G x )  =  y  <->  ( z G w )  =  y ) )
3534rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  ( E. z  e.  X  ( z G x )  =  y  <->  E. z  e.  X  ( z G w )  =  y ) )
36 eqeq2 2413 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
( z G w )  =  y  <->  ( z G w )  =  w ) )
3736rexbidv 2687 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  ( E. z  e.  X  ( z G w )  =  y  <->  E. z  e.  X  ( z G w )  =  w ) )
38 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  u  ->  (
z G w )  =  ( u G w ) )
3938eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  u  ->  (
( z G w )  =  w  <->  ( u G w )  =  w ) )
4039cbvrexv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  X  ( z G w )  =  w  <->  E. u  e.  X  ( u G w )  =  w )
4137, 40syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  ( E. z  e.  X  ( z G w )  =  y  <->  E. u  e.  X  ( u G w )  =  w ) )
4235, 41rspc2v 3018 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y  ->  E. u  e.  X  ( u G w )  =  w ) )
4329, 32, 42sylc 58 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  E. u  e.  X  ( u G w )  =  w )
444ralrimivva 2758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( x G z )  =  y )
45 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  (
x G z )  =  ( w G z ) )
4645eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
( x G z )  =  y  <->  ( w G z )  =  y ) )
4746rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( E. z  e.  X  ( x G z )  =  y  <->  E. z  e.  X  ( w G z )  =  y ) )
4847ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( x G z )  =  y  <->  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( w G z )  =  y ) )
4948rspccva 3011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( x G z )  =  y  /\  w  e.  X )  ->  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( w G z )  =  y )
5044, 49sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( w G z )  =  y )
51 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( w G z )  =  y  <->  ( w G z )  =  x ) )
5251rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( E. z  e.  X  ( w G z )  =  y  <->  E. z  e.  X  ( w G z )  =  x ) )
53 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  v  ->  (
w G z )  =  ( w G v ) )
5453eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  v  ->  (
( w G z )  =  x  <->  ( w G v )  =  x ) )
5554cbvrexv 2893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z  e.  X  ( w G z )  =  x  <->  E. v  e.  X  ( w G v )  =  x )
5652, 55syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( E. z  e.  X  ( w G z )  =  y  <->  E. v  e.  X  ( w G v )  =  x ) )
5756rspccva 3011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( w G z )  =  y  /\  x  e.  X )  ->  E. v  e.  X  ( w G v )  =  x )
5850, 57sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  x  e.  X )  ->  E. v  e.  X  ( w G v )  =  x )
5958ad2ant2r 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
u G w )  =  w ) )  ->  E. v  e.  X  ( w G v )  =  x )
6021ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
61 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  ->  u  e.  X )
62 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  ->  w  e.  X )
63 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  -> 
v  e.  X )
64 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  u  ->  (
x G y )  =  ( u G y ) )
6564oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  u  ->  (
( x G y ) G z )  =  ( ( u G y ) G z ) )
66 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  u  ->  (
x G ( y G z ) )  =  ( u G ( y G z ) ) )
6765, 66eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  ( (
u G y ) G z )  =  ( u G ( y G z ) ) ) )
68 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  w  ->  (
u G y )  =  ( u G w ) )
6968oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  w  ->  (
( u G y ) G z )  =  ( ( u G w ) G z ) )
70 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  w  ->  (
y G z )  =  ( w G z ) )
7170oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  w  ->  (
u G ( y G z ) )  =  ( u G ( w G z ) ) )
7269, 71eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( u G y ) G z )  =  ( u G ( y G z ) )  <->  ( (
u G w ) G z )  =  ( u G ( w G z ) ) ) )
73 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  v  ->  (
( u G w ) G z )  =  ( ( u G w ) G v ) )
7453oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  v  ->  (
u G ( w G z ) )  =  ( u G ( w G v ) ) )
7573, 74eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  v  ->  (
( ( u G w ) G z )  =  ( u G ( w G z ) )  <->  ( (
u G w ) G v )  =  ( u G ( w G v ) ) ) )
7667, 72, 75rspc3v 3021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  X  /\  w  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  ->  ( ( u G w ) G v )  =  ( u G ( w G v ) ) ) )
7761, 62, 63, 76syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  ->  ( ( u G w ) G v )  =  ( u G ( w G v ) ) ) )
7860, 77mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  -> 
( ( u G w ) G v )  =  ( u G ( w G v ) ) )
79 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  -> 
( u G w )  =  w )
8079oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  -> 
( ( u G w ) G v )  =  ( w G v ) )
8178, 80eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  -> 
( u G ( w G v ) )  =  ( w G v ) )
8281anassrs 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( u G w )  =  w )  /\  v  e.  X )  ->  (
u G ( w G v ) )  =  ( w G v ) )
83 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w G v )  =  x  ->  (
u G ( w G v ) )  =  ( u G x ) )
84 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w G v )  =  x  ->  (
w G v )  =  x )
8583, 84eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w G v )  =  x  ->  (
( u G ( w G v ) )  =  ( w G v )  <->  ( u G x )  =  x ) )
8682, 85syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( u G w )  =  w )  /\  v  e.  X )  ->  (
( w G v )  =  x  -> 
( u G x )  =  x ) )
8786rexlimdva 2790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( u G w )  =  w )  ->  ( E. v  e.  X  ( w G v )  =  x  -> 
( u G x )  =  x ) )
8887adantrl 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
u G w )  =  w ) )  ->  ( E. v  e.  X  ( w G v )  =  x  ->  ( u G x )  =  x ) )
8959, 88mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
u G w )  =  w ) )  ->  ( u G x )  =  x )
90 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  x  e.  X )  ->  u  e.  X )
9130anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y )
9291ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y )
9392adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y )
94 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  (
( z G x )  =  y  <->  ( z G x )  =  u ) )
9594rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  u  ->  ( E. z  e.  X  ( z G x )  =  y  <->  E. z  e.  X  ( z G x )  =  u ) )
9695rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  X  ->  ( A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y  ->  E. z  e.  X  ( z G x )  =  u ) )
9790, 93, 96sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  x  e.  X )  ->  E. z  e.  X  ( z G x )  =  u )
98 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
z G x )  =  ( y G x ) )
9998eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
( z G x )  =  u  <->  ( y G x )  =  u ) )
10099cbvrexv 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  X  ( z G x )  =  u  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )
10197, 100sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )
102101adantllr 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )
103102adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
u G w )  =  w ) )  ->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )
10489, 103jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
u G w )  =  w ) )  ->  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
105104expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  x  e.  X )  ->  (
( u G w )  =  w  -> 
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
106105ralrimdva 2756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X )  ->  (
( u G w )  =  w  ->  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
107106reximdva 2778 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  ( E. u  e.  X  ( u G w )  =  w  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
10843, 107mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) )
10927, 108exlimddv 1645 . . 3  |-  ( ph  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
11016rexeqdv 2871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
ran  G ( y G x )  =  u  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
111110anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
11216, 111raleqbidv 2876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
11316, 112rexeqbidv 2877 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. u  e. 
ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
114109, 113mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e. 
ran  G ( y G x )  =  u ) )
115 isgrp2d.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
116 xpexg 4948 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
117115, 115, 116syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
118 fex 5928 . . . 4  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( X  X.  X )  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
1191, 117, 118syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
120 eqid 2404 . . . 4  |-  ran  G  =  ran  G
121120isgrpo 21737 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran 
G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u ) ) ) )
122119, 121syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran 
G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u ) ) ) )
12319, 25, 114, 122mpbir3and 1137 1  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   (/)c0 3588    X. cxp 4835   ran crn 4838   -->wf 5409   -onto->wfo 5411  (class class class)co 6040   GrpOpcgr 21727
This theorem is referenced by:  isgrp2i  21777  ghgrp  21909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-grpo 21732
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