Theorem isgrp2d 26044

Description: An alternate way to show a group operation. Exercise 1 of [Herstein] p. 57. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isgrp2d.1	|- ( ph -> X e. V )
isgrp2d.2	|- ( ph -> X =/= (/) )
isgrp2d.3	|- ( ph -> G : ( X X. X ) --> X )
isgrp2d.4	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
isgrp2d.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> E. z e. X ( z G x ) = y )
isgrp2d.6	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> E. z e. X ( x G z ) = y )

Assertion

Ref	Expression
isgrp2d	|- ( ph -> G e. GrpOp )

Distinct variable groups:   x, y, z, G   x, X, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   V( x, y, z)

Proof of Theorem isgrp2d

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgrp2d.3	. . 3 |- ( ph -> G : ( X X. X ) --> X )
2		isgrp2d.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X =/= (/) )
3	2	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> X =/= (/) )
4		isgrp2d.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> E. z e. X ( x G z ) = y )
5	4	anass1rs 824	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ x e. X ) -> E. z e. X ( x G z ) = y )
6		eqcom 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x G z ) = y <-> y = ( x G z ) )
7	6	rexbii 2881	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. X ( x G z ) = y <-> E. z e. X y = ( x G z ) )
8	5, 7	sylib 201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ x e. X ) -> E. z e. X y = ( x G z ) )
9	8	ralrimiva 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> A. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) )
10		r19.2z 3849	. . . . . . . . 9 |- ( ( X =/= (/) /\ A. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) ) -> E. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) )
11	3, 9, 10	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> E. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) )
12	11	ralrimiva 2809	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. X E. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) )
13		foov 6462	. . . . . . 7 |- ( G : ( X X. X ) -onto-> X <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. y e. X E. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) ) )
14	1, 12, 13	sylanbrc 677	. . . . . 6 |- ( ph -> G : ( X X. X ) -onto-> X )
15		forn 5809	. . . . . 6 |- ( G : ( X X. X ) -onto-> X -> ran G = X )
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran G = X )
17	16	sqxpeqd 4865	. . . 4 |- ( ph -> ( ran G X. ran G ) = ( X X. X ) )
18	17, 16	feq23d 5734	. . 3 |- ( ph -> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G <-> G : ( X X. X ) --> X ) )
19	1, 18	mpbird 240	. 2 |- ( ph -> G : ( ran G X. ran G ) --> ran G )
20		isgrp2d.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
21	20	ralrimivvva 2815	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
22	16	raleqdv 2979	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
23	16, 22	raleqbidv 2987	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
24	16, 23	raleqbidv 2987	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
25	21, 24	mpbird 240	. 2 |- ( ph -> A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
26		n0 3732	. . . . 5 |- ( X =/= (/) <-> E. w w e. X )
27	2, 26	sylib 201	. . . 4 |- ( ph -> E. w w e. X )
28		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> w e. X )
29	28, 28	jca 541	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> ( w e. X /\ w e. X ) )
30		isgrp2d.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> E. z e. X ( z G x ) = y )
31	30	ralrimivva 2814	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y )
32	31	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y )
33		oveq2 6316	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( z G x ) = ( z G w ) )
34	33	eqeq1d 2473	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( z G x ) = y <-> ( z G w ) = y ) )
35	34	rexbidv 2892	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( E. z e. X ( z G x ) = y <-> E. z e. X ( z G w ) = y ) )
36		eqeq2 2482	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( z G w ) = y <-> ( z G w ) = w ) )
37	36	rexbidv 2892	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( E. z e. X ( z G w ) = y <-> E. z e. X ( z G w ) = w ) )
38		oveq1 6315	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> ( z G w ) = ( u G w ) )
39	38	eqeq1d 2473	. . . . . . . . 9 |- ( z = u -> ( ( z G w ) = w <-> ( u G w ) = w ) )
40	39	cbvrexv 3006	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. X ( z G w ) = w <-> E. u e. X ( u G w ) = w )
41	37, 40	syl6bb 269	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( E. z e. X ( z G w ) = y <-> E. u e. X ( u G w ) = w ) )
42	35, 41	rspc2v 3147	. . . . . 6 |- ( ( w e. X /\ w e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y -> E. u e. X ( u G w ) = w ) )
43	29, 32, 42	sylc 61	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> E. u e. X ( u G w ) = w )
44	4	ralrimivva 2814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( x G z ) = y )
45		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = w -> ( x G z ) = ( w G z ) )
46	45	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( ( x G z ) = y <-> ( w G z ) = y ) )
47	46	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( E. z e. X ( x G z ) = y <-> E. z e. X ( w G z ) = y ) )
48	47	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( A. y e. X E. z e. X ( x G z ) = y <-> A. y e. X E. z e. X ( w G z ) = y ) )
49	48	rspccva 3135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( x G z ) = y /\ w e. X ) -> A. y e. X E. z e. X ( w G z ) = y )
50	44, 49	sylan 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> A. y e. X E. z e. X ( w G z ) = y )
51		eqeq2 2482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( ( w G z ) = y <-> ( w G z ) = x ) )
52	51	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( E. z e. X ( w G z ) = y <-> E. z e. X ( w G z ) = x ) )
53		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = v -> ( w G z ) = ( w G v ) )
54	53	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = v -> ( ( w G z ) = x <-> ( w G v ) = x ) )
55	54	cbvrexv 3006	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. z e. X ( w G z ) = x <-> E. v e. X ( w G v ) = x )
56	52, 55	syl6bb 269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( E. z e. X ( w G z ) = y <-> E. v e. X ( w G v ) = x ) )
57	56	rspccva 3135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. X E. z e. X ( w G z ) = y /\ x e. X ) -> E. v e. X ( w G v ) = x )
58	50, 57	sylan 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ x e. X ) -> E. v e. X ( w G v ) = x )
59	58	ad2ant2r 761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> E. v e. X ( w G v ) = x )
60	21	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
61		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> u e. X )
62		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> w e. X )
63		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> v e. X )
64		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = u -> ( x G y ) = ( u G y ) )
65	64	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = u -> ( ( x G y ) G z ) = ( ( u G y ) G z ) )
66		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = u -> ( x G ( y G z ) ) = ( u G ( y G z ) ) )
67	65, 66	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = u -> ( ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> ( ( u G y ) G z ) = ( u G ( y G z ) ) ) )
68		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = w -> ( u G y ) = ( u G w ) )
69	68	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = w -> ( ( u G y ) G z ) = ( ( u G w ) G z ) )
70		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = w -> ( y G z ) = ( w G z ) )
71	70	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = w -> ( u G ( y G z ) ) = ( u G ( w G z ) ) )
72	69, 71	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = w -> ( ( ( u G y ) G z ) = ( u G ( y G z ) ) <-> ( ( u G w ) G z ) = ( u G ( w G z ) ) ) )
73		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = v -> ( ( u G w ) G z ) = ( ( u G w ) G v ) )
74	53	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = v -> ( u G ( w G z ) ) = ( u G ( w G v ) ) )
75	73, 74	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = v -> ( ( ( u G w ) G z ) = ( u G ( w G z ) ) <-> ( ( u G w ) G v ) = ( u G ( w G v ) ) ) )
76	67, 72, 75	rspc3v 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. X /\ w e. X /\ v e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) -> ( ( u G w ) G v ) = ( u G ( w G v ) ) ) )
77	61, 62, 63, 76	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) -> ( ( u G w ) G v ) = ( u G ( w G v ) ) ) )
78	60, 77	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( ( u G w ) G v ) = ( u G ( w G v ) ) )
79		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( u G w ) = w )
80	79	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( ( u G w ) G v ) = ( w G v ) )
81	78, 80	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( u G ( w G v ) ) = ( w G v ) )
82	81	anassrs 660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( u G w ) = w ) /\ v e. X ) -> ( u G ( w G v ) ) = ( w G v ) )
83		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w G v ) = x -> ( u G ( w G v ) ) = ( u G x ) )
84		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w G v ) = x -> ( w G v ) = x )
85	83, 84	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w G v ) = x -> ( ( u G ( w G v ) ) = ( w G v ) <-> ( u G x ) = x ) )
86	82, 85	syl5ibcom 228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( u G w ) = w ) /\ v e. X ) -> ( ( w G v ) = x -> ( u G x ) = x ) )
87	86	rexlimdva 2871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( u G w ) = w ) -> ( E. v e. X ( w G v ) = x -> ( u G x ) = x ) )
88	87	adantrl 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> ( E. v e. X ( w G v ) = x -> ( u G x ) = x ) )
89	59, 88	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> ( u G x ) = x )
90		simplr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> u e. X )
91	30	anassrs 660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> E. z e. X ( z G x ) = y )
92	91	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y )
93	92	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y )
94		eqeq2 2482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = u -> ( ( z G x ) = y <-> ( z G x ) = u ) )
95	94	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = u -> ( E. z e. X ( z G x ) = y <-> E. z e. X ( z G x ) = u ) )
96	95	rspcv 3132	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. X -> ( A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y -> E. z e. X ( z G x ) = u ) )
97	90, 93, 96	sylc 61	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> E. z e. X ( z G x ) = u )
98		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( z G x ) = ( y G x ) )
99	98	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( ( z G x ) = u <-> ( y G x ) = u ) )
100	99	cbvrexv 3006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. X ( z G x ) = u <-> E. y e. X ( y G x ) = u )
101	97, 100	sylib 201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> E. y e. X ( y G x ) = u )
102	101	adantllr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> E. y e. X ( y G x ) = u )
103	102	adantrr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> E. y e. X ( y G x ) = u )
104	89, 103	jca 541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) )
105	104	expr 626	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> ( ( u G w ) = w -> ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
106	105	ralrimdva 2812	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) -> ( ( u G w ) = w -> A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
107	106	reximdva 2858	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> ( E. u e. X ( u G w ) = w -> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
108	43, 107	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) )
109	27, 108	exlimddv 1789	. . 3 |- ( ph -> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) )
110	16	rexeqdv 2980	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. y e. ran G ( y G x ) = u <-> E. y e. X ( y G x ) = u ) )
111	110	anbi2d 718	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
112	16, 111	raleqbidv 2987	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
113	16, 112	rexeqbidv 2988	. . 3 |- ( ph -> ( E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
114	109, 113	mpbird 240	. 2 |- ( ph -> E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) )
115		isgrp2d.1	. . . . 5 |- ( ph -> X e. V )
116		xpexg 6612	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ X e. V ) -> ( X X. X ) e. _V )
117	115, 115, 116	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> ( X X. X ) e. _V )
118		fex 6155	. . . 4 |- ( ( G : ( X X. X ) --> X /\ ( X X. X ) e. _V ) -> G e. _V )
119	1, 117, 118	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> G e. _V )
120		eqid 2471	. . . 4 |- ran G = ran G
121	120	isgrpo 26005	. . 3 |- ( G e. _V -> ( G e. GrpOp <-> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) ) ) )
122	119, 121	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( G e. GrpOp <-> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) ) ) )
123	19, 25, 114, 122	mpbir3and 1213	1 |- ( ph -> G e. GrpOp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   X. cxp 4837   ran crn 4840   -->wf 5585   -onto->wfo 5587  (class class class)co 6308   GrpOpcgr 25995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-grpo 26000

This theorem is referenced by:  isgrp2i  26045  ghgrpOLD  26177