Theorem isgrp2d 25955

Description: An alternate way to show a group operation. Exercise 1 of [Herstein] p. 57. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isgrp2d.1	|- ( ph -> X e. V )
isgrp2d.2	|- ( ph -> X =/= (/) )
isgrp2d.3	|- ( ph -> G : ( X X. X ) --> X )
isgrp2d.4	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
isgrp2d.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> E. z e. X ( z G x ) = y )
isgrp2d.6	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> E. z e. X ( x G z ) = y )

Assertion

Ref	Expression
isgrp2d	|- ( ph -> G e. GrpOp )

Distinct variable groups:   x, y, z, G   x, X, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   V( x, y, z)

Proof of Theorem isgrp2d

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgrp2d.3	. . 3 |- ( ph -> G : ( X X. X ) --> X )
2		isgrp2d.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X =/= (/) )
3	2	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> X =/= (/) )
4		isgrp2d.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> E. z e. X ( x G z ) = y )
5	4	anass1rs 815	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ x e. X ) -> E. z e. X ( x G z ) = y )
6		eqcom 2432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x G z ) = y <-> y = ( x G z ) )
7	6	rexbii 2928	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. X ( x G z ) = y <-> E. z e. X y = ( x G z ) )
8	5, 7	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. X ) /\ x e. X ) -> E. z e. X y = ( x G z ) )
9	8	ralrimiva 2840	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> A. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) )
10		r19.2z 3887	. . . . . . . . 9 |- ( ( X =/= (/) /\ A. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) ) -> E. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) )
11	3, 9, 10	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> E. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) )
12	11	ralrimiva 2840	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. X E. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) )
13		foov 6455	. . . . . . 7 |- ( G : ( X X. X ) -onto-> X <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. y e. X E. x e. X E. z e. X y = ( x G z ) ) )
14	1, 12, 13	sylanbrc 669	. . . . . 6 |- ( ph -> G : ( X X. X ) -onto-> X )
15		forn 5811	. . . . . 6 |- ( G : ( X X. X ) -onto-> X -> ran G = X )
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran G = X )
17	16	sqxpeqd 4877	. . . 4 |- ( ph -> ( ran G X. ran G ) = ( X X. X ) )
18	17, 16	feq23d 5739	. . 3 |- ( ph -> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G <-> G : ( X X. X ) --> X ) )
19	1, 18	mpbird 236	. 2 |- ( ph -> G : ( ran G X. ran G ) --> ran G )
20		isgrp2d.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
21	20	ralrimivvva 2848	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
22	16	raleqdv 3032	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
23	16, 22	raleqbidv 3040	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
24	16, 23	raleqbidv 3040	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
25	21, 24	mpbird 236	. 2 |- ( ph -> A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
26		n0 3772	. . . . 5 |- ( X =/= (/) <-> E. w w e. X )
27	2, 26	sylib 200	. . . 4 |- ( ph -> E. w w e. X )
28		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> w e. X )
29	28, 28	jca 535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> ( w e. X /\ w e. X ) )
30		isgrp2d.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> E. z e. X ( z G x ) = y )
31	30	ralrimivva 2847	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y )
32	31	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y )
33		oveq2 6311	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( z G x ) = ( z G w ) )
34	33	eqeq1d 2425	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( z G x ) = y <-> ( z G w ) = y ) )
35	34	rexbidv 2940	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( E. z e. X ( z G x ) = y <-> E. z e. X ( z G w ) = y ) )
36		eqeq2 2438	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( z G w ) = y <-> ( z G w ) = w ) )
37	36	rexbidv 2940	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> ( E. z e. X ( z G w ) = y <-> E. z e. X ( z G w ) = w ) )
38		oveq1 6310	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> ( z G w ) = ( u G w ) )
39	38	eqeq1d 2425	. . . . . . . . 9 |- ( z = u -> ( ( z G w ) = w <-> ( u G w ) = w ) )
40	39	cbvrexv 3057	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. X ( z G w ) = w <-> E. u e. X ( u G w ) = w )
41	37, 40	syl6bb 265	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( E. z e. X ( z G w ) = y <-> E. u e. X ( u G w ) = w ) )
42	35, 41	rspc2v 3192	. . . . . 6 |- ( ( w e. X /\ w e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y -> E. u e. X ( u G w ) = w ) )
43	29, 32, 42	sylc 63	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> E. u e. X ( u G w ) = w )
44	4	ralrimivva 2847	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( x G z ) = y )
45		oveq1 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = w -> ( x G z ) = ( w G z ) )
46	45	eqeq1d 2425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( ( x G z ) = y <-> ( w G z ) = y ) )
47	46	rexbidv 2940	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( E. z e. X ( x G z ) = y <-> E. z e. X ( w G z ) = y ) )
48	47	ralbidv 2865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( A. y e. X E. z e. X ( x G z ) = y <-> A. y e. X E. z e. X ( w G z ) = y ) )
49	48	rspccva 3182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. X A. y e. X E. z e. X ( x G z ) = y /\ w e. X ) -> A. y e. X E. z e. X ( w G z ) = y )
50	44, 49	sylan 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> A. y e. X E. z e. X ( w G z ) = y )
51		eqeq2 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( ( w G z ) = y <-> ( w G z ) = x ) )
52	51	rexbidv 2940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( E. z e. X ( w G z ) = y <-> E. z e. X ( w G z ) = x ) )
53		oveq2 6311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = v -> ( w G z ) = ( w G v ) )
54	53	eqeq1d 2425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = v -> ( ( w G z ) = x <-> ( w G v ) = x ) )
55	54	cbvrexv 3057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. z e. X ( w G z ) = x <-> E. v e. X ( w G v ) = x )
56	52, 55	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( E. z e. X ( w G z ) = y <-> E. v e. X ( w G v ) = x ) )
57	56	rspccva 3182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. X E. z e. X ( w G z ) = y /\ x e. X ) -> E. v e. X ( w G v ) = x )
58	50, 57	sylan 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ x e. X ) -> E. v e. X ( w G v ) = x )
59	58	ad2ant2r 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> E. v e. X ( w G v ) = x )
60	21	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
61		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> u e. X )
62		simpllr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> w e. X )
63		simprr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> v e. X )
64		oveq1 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = u -> ( x G y ) = ( u G y ) )
65	64	oveq1d 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = u -> ( ( x G y ) G z ) = ( ( u G y ) G z ) )
66		oveq1 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = u -> ( x G ( y G z ) ) = ( u G ( y G z ) ) )
67	65, 66	eqeq12d 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = u -> ( ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> ( ( u G y ) G z ) = ( u G ( y G z ) ) ) )
68		oveq2 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = w -> ( u G y ) = ( u G w ) )
69	68	oveq1d 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = w -> ( ( u G y ) G z ) = ( ( u G w ) G z ) )
70		oveq1 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = w -> ( y G z ) = ( w G z ) )
71	70	oveq2d 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = w -> ( u G ( y G z ) ) = ( u G ( w G z ) ) )
72	69, 71	eqeq12d 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = w -> ( ( ( u G y ) G z ) = ( u G ( y G z ) ) <-> ( ( u G w ) G z ) = ( u G ( w G z ) ) ) )
73		oveq2 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = v -> ( ( u G w ) G z ) = ( ( u G w ) G v ) )
74	53	oveq2d 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = v -> ( u G ( w G z ) ) = ( u G ( w G v ) ) )
75	73, 74	eqeq12d 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = v -> ( ( ( u G w ) G z ) = ( u G ( w G z ) ) <-> ( ( u G w ) G v ) = ( u G ( w G v ) ) ) )
76	67, 72, 75	rspc3v 3195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. X /\ w e. X /\ v e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) -> ( ( u G w ) G v ) = ( u G ( w G v ) ) ) )
77	61, 62, 63, 76	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) -> ( ( u G w ) G v ) = ( u G ( w G v ) ) ) )
78	60, 77	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( ( u G w ) G v ) = ( u G ( w G v ) ) )
79		simprl 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( u G w ) = w )
80	79	oveq1d 6318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( ( u G w ) G v ) = ( w G v ) )
81	78, 80	eqtr3d 2466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( ( u G w ) = w /\ v e. X ) ) -> ( u G ( w G v ) ) = ( w G v ) )
82	81	anassrs 653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( u G w ) = w ) /\ v e. X ) -> ( u G ( w G v ) ) = ( w G v ) )
83		oveq2 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w G v ) = x -> ( u G ( w G v ) ) = ( u G x ) )
84		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w G v ) = x -> ( w G v ) = x )
85	83, 84	eqeq12d 2445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w G v ) = x -> ( ( u G ( w G v ) ) = ( w G v ) <-> ( u G x ) = x ) )
86	82, 85	syl5ibcom 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( u G w ) = w ) /\ v e. X ) -> ( ( w G v ) = x -> ( u G x ) = x ) )
87	86	rexlimdva 2918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( u G w ) = w ) -> ( E. v e. X ( w G v ) = x -> ( u G x ) = x ) )
88	87	adantrl 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> ( E. v e. X ( w G v ) = x -> ( u G x ) = x ) )
89	59, 88	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> ( u G x ) = x )
90		simplr 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> u e. X )
91	30	anassrs 653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> E. z e. X ( z G x ) = y )
92	91	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y )
93	92	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y )
94		eqeq2 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = u -> ( ( z G x ) = y <-> ( z G x ) = u ) )
95	94	rexbidv 2940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = u -> ( E. z e. X ( z G x ) = y <-> E. z e. X ( z G x ) = u ) )
96	95	rspcv 3179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. X -> ( A. y e. X E. z e. X ( z G x ) = y -> E. z e. X ( z G x ) = u ) )
97	90, 93, 96	sylc 63	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> E. z e. X ( z G x ) = u )
98		oveq1 6310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( z G x ) = ( y G x ) )
99	98	eqeq1d 2425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( ( z G x ) = u <-> ( y G x ) = u ) )
100	99	cbvrexv 3057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. X ( z G x ) = u <-> E. y e. X ( y G x ) = u )
101	97, 100	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> E. y e. X ( y G x ) = u )
102	101	adantllr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> E. y e. X ( y G x ) = u )
103	102	adantrr 722	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> E. y e. X ( y G x ) = u )
104	89, 103	jca 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ ( x e. X /\ ( u G w ) = w ) ) -> ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) )
105	104	expr 619	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) /\ x e. X ) -> ( ( u G w ) = w -> ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
106	105	ralrimdva 2844	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. X ) /\ u e. X ) -> ( ( u G w ) = w -> A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
107	106	reximdva 2901	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> ( E. u e. X ( u G w ) = w -> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
108	43, 107	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. X ) -> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) )
109	27, 108	exlimddv 1771	. . 3 |- ( ph -> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) )
110	16	rexeqdv 3033	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. y e. ran G ( y G x ) = u <-> E. y e. X ( y G x ) = u ) )
111	110	anbi2d 709	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
112	16, 111	raleqbidv 3040	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
113	16, 112	rexeqbidv 3041	. . 3 |- ( ph -> ( E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
114	109, 113	mpbird 236	. 2 |- ( ph -> E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) )
115		isgrp2d.1	. . . . 5 |- ( ph -> X e. V )
116		xpexg 6605	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ X e. V ) -> ( X X. X ) e. _V )
117	115, 115, 116	syl2anc 666	. . . 4 |- ( ph -> ( X X. X ) e. _V )
118		fex 6151	. . . 4 |- ( ( G : ( X X. X ) --> X /\ ( X X. X ) e. _V ) -> G e. _V )
119	1, 117, 118	syl2anc 666	. . 3 |- ( ph -> G e. _V )
120		eqid 2423	. . . 4 |- ran G = ran G
121	120	isgrpo 25916	. . 3 |- ( G e. _V -> ( G e. GrpOp <-> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) ) ) )
122	119, 121	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( G e. GrpOp <-> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) ) ) )
123	19, 25, 114, 122	mpbir3and 1189	1 |- ( ph -> G e. GrpOp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   E.wex 1660   e. wcel 1869   =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   (/)c0 3762   X. cxp 4849   ran crn 4852   -->wf 5595   -onto->wfo 5597  (class class class)co 6303   GrpOpcgr 25906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-grpo 25911

This theorem is referenced by:  isgrp2i  25956  ghgrpOLD  26088