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Theorem isgrp2d 25955
Description: An alternate way to show a group operation. Exercise 1 of [Herstein] p. 57. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrp2d.1  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
isgrp2d.2  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
isgrp2d.3  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
isgrp2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
isgrp2d.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y )
isgrp2d.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. z  e.  X  ( x G z )  =  y )
Assertion
Ref Expression
isgrp2d  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, X, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    V( x, y, z)

Proof of Theorem isgrp2d
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgrp2d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
2 isgrp2d.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
32adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  X  =/=  (/) )
4 isgrp2d.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. z  e.  X  ( x G z )  =  y )
54anass1rs 815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  x  e.  X )  ->  E. z  e.  X  ( x G z )  =  y )
6 eqcom 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G z )  =  y  <->  y  =  ( x G z ) )
76rexbii 2928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  X  ( x G z )  =  y  <->  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) )
85, 7sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  x  e.  X )  ->  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) )
98ralrimiva 2840 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  A. x  e.  X  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) )
10 r19.2z 3887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  A. x  e.  X  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) )  ->  E. x  e.  X  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) )
113, 9, 10syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  E. x  e.  X  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) )
1211ralrimiva 2840 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  X  E. x  e.  X  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) )
13 foov 6455 . . . . . . 7  |-  ( G : ( X  X.  X ) -onto-> X  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. y  e.  X  E. x  e.  X  E. z  e.  X  y  =  ( x G z ) ) )
141, 12, 13sylanbrc 669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) -onto-> X )
15 forn 5811 . . . . . 6  |-  ( G : ( X  X.  X ) -onto-> X  ->  ran  G  =  X )
1614, 15syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  G  =  X )
1716sqxpeqd 4877 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  G  X.  ran  G )  =  ( X  X.  X ) )
1817, 16feq23d 5739 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G  <->  G :
( X  X.  X
) --> X ) )
191, 18mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( ran 
G  X.  ran  G
) --> ran  G )
20 isgrp2d.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
2120ralrimivvva 2848 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
2216raleqdv 3032 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2316, 22raleqbidv 3040 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2416, 23raleqbidv 3040 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2521, 24mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
26 n0 3772 . . . . 5  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  X )
272, 26sylib 200 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. w  w  e.  X )
28 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  X )
2928, 28jca 535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  X  /\  w  e.  X )
)
30 isgrp2d.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y )
3130ralrimivva 2847 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y )
3231adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y )
33 oveq2 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
z G x )  =  ( z G w ) )
3433eqeq1d 2425 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( z G x )  =  y  <->  ( z G w )  =  y ) )
3534rexbidv 2940 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  ( E. z  e.  X  ( z G x )  =  y  <->  E. z  e.  X  ( z G w )  =  y ) )
36 eqeq2 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
( z G w )  =  y  <->  ( z G w )  =  w ) )
3736rexbidv 2940 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  ( E. z  e.  X  ( z G w )  =  y  <->  E. z  e.  X  ( z G w )  =  w ) )
38 oveq1 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  u  ->  (
z G w )  =  ( u G w ) )
3938eqeq1d 2425 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  u  ->  (
( z G w )  =  w  <->  ( u G w )  =  w ) )
4039cbvrexv 3057 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  X  ( z G w )  =  w  <->  E. u  e.  X  ( u G w )  =  w )
4137, 40syl6bb 265 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  ( E. z  e.  X  ( z G w )  =  y  <->  E. u  e.  X  ( u G w )  =  w ) )
4235, 41rspc2v 3192 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y  ->  E. u  e.  X  ( u G w )  =  w ) )
4329, 32, 42sylc 63 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  E. u  e.  X  ( u G w )  =  w )
444ralrimivva 2847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( x G z )  =  y )
45 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  (
x G z )  =  ( w G z ) )
4645eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
( x G z )  =  y  <->  ( w G z )  =  y ) )
4746rexbidv 2940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( E. z  e.  X  ( x G z )  =  y  <->  E. z  e.  X  ( w G z )  =  y ) )
4847ralbidv 2865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( x G z )  =  y  <->  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( w G z )  =  y ) )
4948rspccva 3182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( x G z )  =  y  /\  w  e.  X )  ->  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( w G z )  =  y )
5044, 49sylan 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( w G z )  =  y )
51 eqeq2 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( w G z )  =  y  <->  ( w G z )  =  x ) )
5251rexbidv 2940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( E. z  e.  X  ( w G z )  =  y  <->  E. z  e.  X  ( w G z )  =  x ) )
53 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  v  ->  (
w G z )  =  ( w G v ) )
5453eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  v  ->  (
( w G z )  =  x  <->  ( w G v )  =  x ) )
5554cbvrexv 3057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z  e.  X  ( w G z )  =  x  <->  E. v  e.  X  ( w G v )  =  x )
5652, 55syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( E. z  e.  X  ( w G z )  =  y  <->  E. v  e.  X  ( w G v )  =  x ) )
5756rspccva 3182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( w G z )  =  y  /\  x  e.  X )  ->  E. v  e.  X  ( w G v )  =  x )
5850, 57sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  x  e.  X )  ->  E. v  e.  X  ( w G v )  =  x )
5958ad2ant2r 752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
u G w )  =  w ) )  ->  E. v  e.  X  ( w G v )  =  x )
6021ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
61 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  ->  u  e.  X )
62 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  ->  w  e.  X )
63 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  -> 
v  e.  X )
64 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  u  ->  (
x G y )  =  ( u G y ) )
6564oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  u  ->  (
( x G y ) G z )  =  ( ( u G y ) G z ) )
66 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  u  ->  (
x G ( y G z ) )  =  ( u G ( y G z ) ) )
6765, 66eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  ( (
u G y ) G z )  =  ( u G ( y G z ) ) ) )
68 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  w  ->  (
u G y )  =  ( u G w ) )
6968oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  w  ->  (
( u G y ) G z )  =  ( ( u G w ) G z ) )
70 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  w  ->  (
y G z )  =  ( w G z ) )
7170oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  w  ->  (
u G ( y G z ) )  =  ( u G ( w G z ) ) )
7269, 71eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( u G y ) G z )  =  ( u G ( y G z ) )  <->  ( (
u G w ) G z )  =  ( u G ( w G z ) ) ) )
73 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  v  ->  (
( u G w ) G z )  =  ( ( u G w ) G v ) )
7453oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  v  ->  (
u G ( w G z ) )  =  ( u G ( w G v ) ) )
7573, 74eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  v  ->  (
( ( u G w ) G z )  =  ( u G ( w G z ) )  <->  ( (
u G w ) G v )  =  ( u G ( w G v ) ) ) )
7667, 72, 75rspc3v 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  X  /\  w  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  ->  ( ( u G w ) G v )  =  ( u G ( w G v ) ) ) )
7761, 62, 63, 76syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  ->  ( ( u G w ) G v )  =  ( u G ( w G v ) ) ) )
7860, 77mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  -> 
( ( u G w ) G v )  =  ( u G ( w G v ) ) )
79 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  -> 
( u G w )  =  w )
8079oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  -> 
( ( u G w ) G v )  =  ( w G v ) )
8178, 80eqtr3d 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( (
u G w )  =  w  /\  v  e.  X ) )  -> 
( u G ( w G v ) )  =  ( w G v ) )
8281anassrs 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( u G w )  =  w )  /\  v  e.  X )  ->  (
u G ( w G v ) )  =  ( w G v ) )
83 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w G v )  =  x  ->  (
u G ( w G v ) )  =  ( u G x ) )
84 id 23 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w G v )  =  x  ->  (
w G v )  =  x )
8583, 84eqeq12d 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w G v )  =  x  ->  (
( u G ( w G v ) )  =  ( w G v )  <->  ( u G x )  =  x ) )
8682, 85syl5ibcom 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( u G w )  =  w )  /\  v  e.  X )  ->  (
( w G v )  =  x  -> 
( u G x )  =  x ) )
8786rexlimdva 2918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( u G w )  =  w )  ->  ( E. v  e.  X  ( w G v )  =  x  -> 
( u G x )  =  x ) )
8887adantrl 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
u G w )  =  w ) )  ->  ( E. v  e.  X  ( w G v )  =  x  ->  ( u G x )  =  x ) )
8959, 88mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
u G w )  =  w ) )  ->  ( u G x )  =  x )
90 simplr 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  x  e.  X )  ->  u  e.  X )
9130anassrs 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y )
9291ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y )
9392adantlr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y )
94 eqeq2 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  (
( z G x )  =  y  <->  ( z G x )  =  u ) )
9594rexbidv 2940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  u  ->  ( E. z  e.  X  ( z G x )  =  y  <->  E. z  e.  X  ( z G x )  =  u ) )
9695rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  X  ->  ( A. y  e.  X  E. z  e.  X  ( z G x )  =  y  ->  E. z  e.  X  ( z G x )  =  u ) )
9790, 93, 96sylc 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  x  e.  X )  ->  E. z  e.  X  ( z G x )  =  u )
98 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
z G x )  =  ( y G x ) )
9998eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
( z G x )  =  u  <->  ( y G x )  =  u ) )
10099cbvrexv 3057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  X  ( z G x )  =  u  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )
10197, 100sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )
102101adantllr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )
103102adantrr 722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
u G w )  =  w ) )  ->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )
10489, 103jca 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  ( x  e.  X  /\  (
u G w )  =  w ) )  ->  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
105104expr 619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X
)  /\  x  e.  X )  ->  (
( u G w )  =  w  -> 
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
106105ralrimdva 2844 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  u  e.  X )  ->  (
( u G w )  =  w  ->  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
107106reximdva 2901 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  ( E. u  e.  X  ( u G w )  =  w  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
10843, 107mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) )
10927, 108exlimddv 1771 . . 3  |-  ( ph  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
11016rexeqdv 3033 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
ran  G ( y G x )  =  u  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
111110anbi2d 709 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
11216, 111raleqbidv 3040 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
11316, 112rexeqbidv 3041 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. u  e. 
ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
114109, 113mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e. 
ran  G ( y G x )  =  u ) )
115 isgrp2d.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
116 xpexg 6605 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
117115, 115, 116syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
118 fex 6151 . . . 4  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( X  X.  X )  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
1191, 117, 118syl2anc 666 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
120 eqid 2423 . . . 4  |-  ran  G  =  ran  G
121120isgrpo 25916 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran 
G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u ) ) ) )
122119, 121syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran 
G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u ) ) ) )
12319, 25, 114, 122mpbir3and 1189 1  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   (/)c0 3762    X. cxp 4849   ran crn 4852   -->wf 5595   -onto->wfo 5597  (class class class)co 6303   GrpOpcgr 25906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-grpo 25911
This theorem is referenced by:  isgrp2i  25956  ghgrpOLD  26088
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