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Theorem isglbd 15593
Description: Properties that determine the greatest lower bound of a complete lattice. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isglbd.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
isglbd.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
isglbd.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
isglbd.1  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  H  .<_  y )
isglbd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  A. y  e.  S  x  .<_  y )  ->  x  .<_  H )
isglbd.3  |-  ( ph  ->  K  e.  CLat )
isglbd.4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
isglbd.5  |-  ( ph  ->  H  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isglbd  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  H )
Distinct variable groups:    x, B    x, y, H    x, K, y    ph, x, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( y)    G( x, y)    .<_ ( x, y)

Proof of Theorem isglbd
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isglbd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 isglbd.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 isglbd.g . . 3  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 biid 236 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) )  <->  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )
5 isglbd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  CLat )
6 isglbd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6glbval 15473 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( iota_ h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) ) )
8 isglbd.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  H  .<_  y )
98ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  H  .<_  y )
10 isglbd.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  A. y  e.  S  x  .<_  y )  ->  x  .<_  H )
11103exp 1190 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
1211ralrimiv 2869 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )
13 isglbd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  B )
141, 3clatglbcl2 15591 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  S  e.  dom  G )
155, 6, 14syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  G
)
161, 2, 3, 4, 5, 15glbeu 15472 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )
17 breq1 4443 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
h  .<_  y  <->  H  .<_  y ) )
1817ralbidv 2896 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  <->  A. y  e.  S  H  .<_  y ) )
19 breq2 4444 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
x  .<_  h  <->  x  .<_  H ) )
2019imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
2120ralbidv 2896 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  ( A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h )  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
2218, 21anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) )  <->  ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) ) )
2322riota2 6259 . . . 4  |-  ( ( H  e.  B  /\  E! h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )  <->  ( iota_ h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H ) )
2413, 16, 23syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )  <->  ( iota_ h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H ) )
259, 12, 24mpbi2and 914 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H )
267, 25eqtrd 2501 1  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E!wreu 2809    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   ` cfv 5579   iota_crio 6235   Basecbs 14479   lecple 14551   glbcglb 15419   CLatccla 15583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-glb 15451  df-clat 15584
This theorem is referenced by:  dihglblem2N  35966
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