MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isglbd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem isglbd 16363
Description: Properties that determine the greatest lower bound of a complete lattice. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isglbd.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
isglbd.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
isglbd.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
isglbd.1  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  H  .<_  y )
isglbd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  A. y  e.  S  x  .<_  y )  ->  x  .<_  H )
isglbd.3  |-  ( ph  ->  K  e.  CLat )
isglbd.4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
isglbd.5  |-  ( ph  ->  H  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isglbd  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  H )
Distinct variable groups:    x, B    x, y, H    x, K, y    ph, x, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( y)    G( x, y)    .<_ ( x, y)

Proof of Theorem isglbd
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isglbd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 isglbd.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 isglbd.g . . 3  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 biid 240 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) )  <->  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )
5 isglbd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  CLat )
6 isglbd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6glbval 16243 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( iota_ h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) ) )
8 isglbd.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  H  .<_  y )
98ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  H  .<_  y )
10 isglbd.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  A. y  e.  S  x  .<_  y )  ->  x  .<_  H )
11103exp 1207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
1211ralrimiv 2800 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )
13 isglbd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  B )
141, 3clatglbcl2 16361 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  S  e.  dom  G )
155, 6, 14syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  G
)
161, 2, 3, 4, 5, 15glbeu 16242 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )
17 breq1 4405 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
h  .<_  y  <->  H  .<_  y ) )
1817ralbidv 2827 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  <->  A. y  e.  S  H  .<_  y ) )
19 breq2 4406 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
x  .<_  h  <->  x  .<_  H ) )
2019imbi2d 318 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
2120ralbidv 2827 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  ( A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h )  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
2218, 21anbi12d 717 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) )  <->  ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) ) )
2322riota2 6274 . . . 4  |-  ( ( H  e.  B  /\  E! h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )  <->  ( iota_ h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H ) )
2413, 16, 23syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )  <->  ( iota_ h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H ) )
259, 12, 24mpbi2and 932 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H )
267, 25eqtrd 2485 1  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E!wreu 2739    C_ wss 3404   class class class wbr 4402   dom cdm 4834   ` cfv 5582   iota_crio 6251   Basecbs 15121   lecple 15197   glbcglb 16188   CLatccla 16353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-glb 16221  df-clat 16354
This theorem is referenced by:  dihglblem2N  34862
  Copyright terms: Public domain W3C validator