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Theorem isglbd 15963
Description: Properties that determine the greatest lower bound of a complete lattice. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isglbd.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
isglbd.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
isglbd.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
isglbd.1  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  H  .<_  y )
isglbd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  A. y  e.  S  x  .<_  y )  ->  x  .<_  H )
isglbd.3  |-  ( ph  ->  K  e.  CLat )
isglbd.4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
isglbd.5  |-  ( ph  ->  H  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isglbd  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  H )
Distinct variable groups:    x, B    x, y, H    x, K, y    ph, x, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( y)    G( x, y)    .<_ ( x, y)

Proof of Theorem isglbd
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isglbd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 isglbd.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 isglbd.g . . 3  |-  G  =  ( glb `  K
)
4 biid 236 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) )  <->  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )
5 isglbd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  CLat )
6 isglbd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6glbval 15843 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( iota_ h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) ) )
8 isglbd.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  H  .<_  y )
98ralrimiva 2817 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  H  .<_  y )
10 isglbd.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  A. y  e.  S  x  .<_  y )  ->  x  .<_  H )
11103exp 1196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
1211ralrimiv 2815 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )
13 isglbd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  B )
141, 3clatglbcl2 15961 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  S  e.  dom  G )
155, 6, 14syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  G
)
161, 2, 3, 4, 5, 15glbeu 15842 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )
17 breq1 4397 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
h  .<_  y  <->  H  .<_  y ) )
1817ralbidv 2842 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  <->  A. y  e.  S  H  .<_  y ) )
19 breq2 4398 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
x  .<_  h  <->  x  .<_  H ) )
2019imbi2d 314 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
2120ralbidv 2842 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  ( A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h )  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
2218, 21anbi12d 709 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) )  <->  ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) ) )
2322riota2 6218 . . . 4  |-  ( ( H  e.  B  /\  E! h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )  <->  ( iota_ h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H ) )
2413, 16, 23syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )  <->  ( iota_ h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H ) )
259, 12, 24mpbi2and 922 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H )
267, 25eqtrd 2443 1  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E!wreu 2755    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   dom cdm 4942   ` cfv 5525   iota_crio 6195   Basecbs 14733   lecple 14808   glbcglb 15788   CLatccla 15953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-glb 15821  df-clat 15954
This theorem is referenced by:  dihglblem2N  34295
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