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Theorem isghm 16961
Description: Property of being a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isghm.w |- X = ( Base ` S )
isghm.x |- Y = ( Base ` T )
isghm.a |- .+ = ( +g ` S )
isghm.b |- .+^ = ( +g ` T )
Assertion
Ref Expression
isghm |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   v, u, S   u, T, v   u, X, v   u, .+ , v   u, Y, v   u, .+^ , v   u, F, v
Proof of Theorem isghm
Dummy variables t s w f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ghm 16959 . . 3 |- GrpHom = ( s e. Grp , t e. Grp |-> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
21elmpt2cl 6530 . 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( S e. Grp /\ T e. Grp ) )
3 fvex 5889 . . . . . . . 8 |- ( Base ` s ) e. _V
4 feq2 5721 . . . . . . . . 9 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( f : w --> ( Base ` t ) <-> f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) ) )
5 raleq 2973 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
65raleqbi1dv 2981 . . . . . . . . 9 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
74, 6anbi12d 725 . . . . . . . 8 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
83, 7sbcie 3290 . . . . . . 7 |- ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
9 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
10 isghm.w . . . . . . . . . 10 |- X = ( Base ` S )
119, 10syl6eqr 2523 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = X )
1211feq2d 5725 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) <-> f : X --> ( Base ` t ) ) )
13 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
14 isghm.a . . . . . . . . . . . . . 14 |- .+ = ( +g ` S )
1513, 14syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = .+ )
1615oveqd 6325 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( u ( +g ` s ) v ) = ( u .+ v ) )
1716fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( f ` ( u .+ v ) ) )
1817eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
1911, 18raleqbidv 2987 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
2011, 19raleqbidv 2987 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
2112, 20anbi12d 725 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
228, 21syl5bb 265 . . . . . 6 |- ( s = S -> ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
2322abbidv 2589 . . . . 5 |- ( s = S -> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
24 fveq2 5879 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
25 isghm.x . . . . . . . . 9 |- Y = ( Base ` T )
2624, 25syl6eqr 2523 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = Y )
2726feq3d 5726 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( f : X --> ( Base ` t ) <-> f : X --> Y ) )
28 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
29 isghm.b . . . . . . . . . . 11 |- .+^ = ( +g ` T )
3028, 29syl6eqr 2523 . . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = .+^ )
3130oveqd 6325 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) )
3231eqeq2d 2481 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
33322ralbidv 2832 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
3427, 33anbi12d 725 . . . . . 6 |- ( t = T -> ( ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) ) )
3534abbidv 2589 . . . . 5 |- ( t = T -> { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
36 fvex 5889 . . . . . . . 8 |- ( Base ` S ) e. _V
3710, 36eqeltri 2545 . . . . . . 7 |- X e. _V
38 fvex 5889 . . . . . . . 8 |- ( Base ` T ) e. _V
3925, 38eqeltri 2545 . . . . . . 7 |- Y e. _V
40 mapex 7496 . . . . . . 7 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { f | f : X --> Y } e. _V )
4137, 39, 40mp2an 686 . . . . . 6 |- { f | f : X --> Y } e. _V
42 simpl 464 . . . . . . 7 |- ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) -> f : X --> Y )
4342ss2abi 3487 . . . . . 6 |- { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } C_ { f | f : X --> Y }
4441, 43ssexi 4541 . . . . 5 |- { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } e. _V
4523, 35, 1, 44ovmpt2 6451 . . . 4 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
4645eleq2d 2534 . . 3 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } ) )
47 fex 6155 . . . . . 6 |- ( ( F : X --> Y /\ X e. _V ) -> F e. _V )
4837, 47mpan2 685 . . . . 5 |- ( F : X --> Y -> F e. _V )
4948adantr 472 . . . 4 |- ( ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) -> F e. _V )
50 feq1 5720 . . . . 5 |- ( f = F -> ( f : X --> Y <-> F : X --> Y ) )
51 fveq1 5878 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( F ` ( u .+ v ) ) )
52 fveq1 5878 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` u ) = ( F ` u ) )
53 fveq1 5878 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` v ) = ( F ` v ) )
5452, 53oveq12d 6326 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) )
5551, 54eqeq12d 2486 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
56552ralbidv 2832 . . . . 5 |- ( f = F -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
5750, 56anbi12d 725 . . . 4 |- ( f = F -> ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
5849, 57elab3 3180 . . 3 |- ( F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
5946, 58syl6bb 269 . 2 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
602, 59biadan2 654 1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   Grpcgrp 16747   GrpHom cghm 16958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-ghm 16959
This theorem is referenced by:  isghm3  16962  ghmgrp1  16963  ghmgrp2  16964  ghmf  16965  ghmlin  16966  isghmd  16970  idghm  16976  ghmf1o  16990  islmhm2  18339  expghm  19144  mulgghm2  19145  pi1xfr  22164  pi1coghm  22170  rhmopp  28656  isrnghm  40400
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