Theorem isghm 16591

Description: Property of being a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isghm.w	|- X = ( Base ` S )
isghm.x	|- Y = ( Base ` T )
isghm.a	|- .+ = ( +g ` S )
isghm.b	|- .+^ = ( +g ` T )

Assertion

Ref	Expression
isghm	|- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, S   u, T, v   u, X, v   u, .+ , v   u, Y, v   u, .+^ , v   u, F, v

Proof of Theorem isghm

Dummy variables t s w f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ghm 16589	. . 3 |- GrpHom = ( s e. Grp , t e. Grp |-> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
2	1	elmpt2cl 6498	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( S e. Grp /\ T e. Grp ) )
3		fvex 5859	. . . . . . . 8 |- ( Base ` s ) e. _V
4		feq2 5697	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( f : w --> ( Base ` t ) <-> f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) ) )
5		raleq 3004	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
6	5	raleqbi1dv 3012	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
7	4, 6	anbi12d 709	. . . . . . . 8 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
8	3, 7	sbcie 3312	. . . . . . 7 |- ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
9		fveq2 5849	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
10		isghm.w	. . . . . . . . . 10 |- X = ( Base ` S )
11	9, 10	syl6eqr 2461	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = X )
12	11	feq2d 5701	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) <-> f : X --> ( Base ` t ) ) )
13		fveq2 5849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
14		isghm.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .+ = ( +g ` S )
15	13, 14	syl6eqr 2461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = .+ )
16	15	oveqd 6295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( u ( +g ` s ) v ) = ( u .+ v ) )
17	16	fveq2d 5853	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( f ` ( u .+ v ) ) )
18	17	eqeq1d 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
19	11, 18	raleqbidv 3018	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
20	11, 19	raleqbidv 3018	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
21	12, 20	anbi12d 709	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
22	8, 21	syl5bb 257	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
23	22	abbidv 2538	. . . . 5 |- ( s = S -> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
24		fveq2 5849	. . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
25		isghm.x	. . . . . . . . 9 |- Y = ( Base ` T )
26	24, 25	syl6eqr 2461	. . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = Y )
27	26	feq3d 5702	. . . . . . 7 |- ( t = T -> ( f : X --> ( Base ` t ) <-> f : X --> Y ) )
28		fveq2 5849	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
29		isghm.b	. . . . . . . . . . 11 |- .+^ = ( +g ` T )
30	28, 29	syl6eqr 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = .+^ )
31	30	oveqd 6295	. . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) )
32	31	eqeq2d 2416	. . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
33	32	2ralbidv 2848	. . . . . . 7 |- ( t = T -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
34	27, 33	anbi12d 709	. . . . . 6 |- ( t = T -> ( ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) ) )
35	34	abbidv 2538	. . . . 5 |- ( t = T -> { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
36		fvex 5859	. . . . . . . 8 |- ( Base ` S ) e. _V
37	10, 36	eqeltri 2486	. . . . . . 7 |- X e. _V
38		fvex 5859	. . . . . . . 8 |- ( Base ` T ) e. _V
39	25, 38	eqeltri 2486	. . . . . . 7 |- Y e. _V
40		mapex 7463	. . . . . . 7 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { f | f : X --> Y } e. _V )
41	37, 39, 40	mp2an 670	. . . . . 6 |- { f | f : X --> Y } e. _V
42		simpl 455	. . . . . . 7 |- ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) -> f : X --> Y )
43	42	ss2abi 3511	. . . . . 6 |- { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } C_ { f | f : X --> Y }
44	41, 43	ssexi 4539	. . . . 5 |- { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } e. _V
45	23, 35, 1, 44	ovmpt2 6419	. . . 4 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
46	45	eleq2d 2472	. . 3 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } ) )
47		fex 6126	. . . . . 6 |- ( ( F : X --> Y /\ X e. _V ) -> F e. _V )
48	37, 47	mpan2 669	. . . . 5 |- ( F : X --> Y -> F e. _V )
49	48	adantr 463	. . . 4 |- ( ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) -> F e. _V )
50		feq1 5696	. . . . 5 |- ( f = F -> ( f : X --> Y <-> F : X --> Y ) )
51		fveq1 5848	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( F ` ( u .+ v ) ) )
52		fveq1 5848	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` u ) = ( F ` u ) )
53		fveq1 5848	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` v ) = ( F ` v ) )
54	52, 53	oveq12d 6296	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) )
55	51, 54	eqeq12d 2424	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
56	55	2ralbidv 2848	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
57	50, 56	anbi12d 709	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
58	49, 57	elab3 3203	. . 3 |- ( F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
59	46, 58	syl6bb 261	. 2 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
60	2, 59	biadan2 640	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   {cab 2387   A.wral 2754   _Vcvv 3059   [.wsbc 3277   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   Grpcgrp 16377   GrpHom cghm 16588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-ghm 16589

This theorem is referenced by:  isghm3  16592  ghmgrp1  16593  ghmgrp2  16594  ghmf  16595  ghmlin  16596  isghmd  16600  idghm  16606  ghmf1o  16620  islmhm2  18004  expghm  18833  mulgghm2  18834  pi1xfr  21847  pi1coghm  21853  rhmopp  28262  isrnghm  38209