Theorem isghm 16871

Description: Property of being a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isghm.w	|- X = ( Base ` S )
isghm.x	|- Y = ( Base ` T )
isghm.a	|- .+ = ( +g ` S )
isghm.b	|- .+^ = ( +g ` T )

Assertion

Ref	Expression
isghm	|- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, S   u, T, v   u, X, v   u, .+ , v   u, Y, v   u, .+^ , v   u, F, v

Proof of Theorem isghm

Dummy variables t s w f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ghm 16869	. . 3 |- GrpHom = ( s e. Grp , t e. Grp |-> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
2	1	elmpt2cl 6522	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( S e. Grp /\ T e. Grp ) )
3		fvex 5888	. . . . . . . 8 |- ( Base ` s ) e. _V
4		feq2 5726	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( f : w --> ( Base ` t ) <-> f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) ) )
5		raleq 3025	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
6	5	raleqbi1dv 3033	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
7	4, 6	anbi12d 715	. . . . . . . 8 |- ( w = ( Base ` s ) -> ( ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
8	3, 7	sbcie 3334	. . . . . . 7 |- ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
9		fveq2 5878	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
10		isghm.w	. . . . . . . . . 10 |- X = ( Base ` S )
11	9, 10	syl6eqr 2481	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = X )
12	11	feq2d 5730	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) <-> f : X --> ( Base ` t ) ) )
13		fveq2 5878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
14		isghm.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .+ = ( +g ` S )
15	13, 14	syl6eqr 2481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = .+ )
16	15	oveqd 6319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( u ( +g ` s ) v ) = ( u .+ v ) )
17	16	fveq2d 5882	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( f ` ( u .+ v ) ) )
18	17	eqeq1d 2424	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
19	11, 18	raleqbidv 3039	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
20	11, 19	raleqbidv 3039	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) )
21	12, 20	anbi12d 715	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( ( f : ( Base ` s ) --> ( Base ` t ) /\ A. u e. ( Base ` s ) A. v e. ( Base ` s ) ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
22	8, 21	syl5bb 260	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) ) )
23	22	abbidv 2558	. . . . 5 |- ( s = S -> { f | [. ( Base ` s ) / w ]. ( f : w --> ( Base ` t ) /\ A. u e. w A. v e. w ( f ` ( u ( +g ` s ) v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } )
24		fveq2 5878	. . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
25		isghm.x	. . . . . . . . 9 |- Y = ( Base ` T )
26	24, 25	syl6eqr 2481	. . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = Y )
27	26	feq3d 5731	. . . . . . 7 |- ( t = T -> ( f : X --> ( Base ` t ) <-> f : X --> Y ) )
28		fveq2 5878	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
29		isghm.b	. . . . . . . . . . 11 |- .+^ = ( +g ` T )
30	28, 29	syl6eqr 2481	. . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = .+^ )
31	30	oveqd 6319	. . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) )
32	31	eqeq2d 2436	. . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
33	32	2ralbidv 2869	. . . . . . 7 |- ( t = T -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) )
34	27, 33	anbi12d 715	. . . . . 6 |- ( t = T -> ( ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) <-> ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) ) )
35	34	abbidv 2558	. . . . 5 |- ( t = T -> { f | ( f : X --> ( Base ` t ) /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) ( +g ` t ) ( f ` v ) ) ) } = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
36		fvex 5888	. . . . . . . 8 |- ( Base ` S ) e. _V
37	10, 36	eqeltri 2506	. . . . . . 7 |- X e. _V
38		fvex 5888	. . . . . . . 8 |- ( Base ` T ) e. _V
39	25, 38	eqeltri 2506	. . . . . . 7 |- Y e. _V
40		mapex 7483	. . . . . . 7 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> { f | f : X --> Y } e. _V )
41	37, 39, 40	mp2an 676	. . . . . 6 |- { f | f : X --> Y } e. _V
42		simpl 458	. . . . . . 7 |- ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) -> f : X --> Y )
43	42	ss2abi 3533	. . . . . 6 |- { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } C_ { f | f : X --> Y }
44	41, 43	ssexi 4566	. . . . 5 |- { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } e. _V
45	23, 35, 1, 44	ovmpt2 6443	. . . 4 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( S GrpHom T ) = { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } )
46	45	eleq2d 2492	. . 3 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } ) )
47		fex 6150	. . . . . 6 |- ( ( F : X --> Y /\ X e. _V ) -> F e. _V )
48	37, 47	mpan2 675	. . . . 5 |- ( F : X --> Y -> F e. _V )
49	48	adantr 466	. . . 4 |- ( ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) -> F e. _V )
50		feq1 5725	. . . . 5 |- ( f = F -> ( f : X --> Y <-> F : X --> Y ) )
51		fveq1 5877	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` ( u .+ v ) ) = ( F ` ( u .+ v ) ) )
52		fveq1 5877	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` u ) = ( F ` u ) )
53		fveq1 5877	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` v ) = ( F ` v ) )
54	52, 53	oveq12d 6320	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) )
55	51, 54	eqeq12d 2444	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
56	55	2ralbidv 2869	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) <-> A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
57	50, 56	anbi12d 715	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
58	49, 57	elab3 3225	. . 3 |- ( F e. { f | ( f : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( f ` ( u .+ v ) ) = ( ( f ` u ) .+^ ( f ` v ) ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) )
59	46, 58	syl6bb 264	. 2 |- ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )
60	2, 59	biadan2 646	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. u e. X A. v e. X ( F ` ( u .+ v ) ) = ( ( F ` u ) .+^ ( F ` v ) ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   {cab 2407   A.wral 2775   _Vcvv 3081   [.wsbc 3299   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Basecbs 15109   +g cplusg 15178   Grpcgrp 16657   GrpHom cghm 16868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-ghm 16869

This theorem is referenced by:  isghm3  16872  ghmgrp1  16873  ghmgrp2  16874  ghmf  16875  ghmlin  16876  isghmd  16880  idghm  16886  ghmf1o  16900  islmhm2  18249  expghm  19054  mulgghm2  19055  pi1xfr  22073  pi1coghm  22079  rhmopp  28578  isrnghm  39164