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Theorem isga 15023
Description: The predicate "is a (left) group action." The group  G is said to act on the base set  Y of the action, which is not assumed to have any special properties. There is a related notion of right group action, but as the Wikipedia article explains, it is not mathematically interesting. The way actions are usually thought of is that each element  g of  G is a permutation of the elements of  Y (see gapm 15038). Since group theory was classically about symmetry groups, it is therefore likely that the notion of group action was useful even in early group theory. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isga.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isga.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
isga.3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
isga  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
)  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    y, X, z    x, Y, y, z   
x,  .(+) , y, z
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y, z)    X( x)    .0. ( x, y, z)

Proof of Theorem isga
Dummy variables  g 
b  m  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ga 15022 . . 3  |-  GrpAct  =  ( g  e.  Grp , 
s  e.  _V  |->  [_ ( Base `  g )  /  b ]_ {
m  e.  ( s  ^m  ( b  X.  s ) )  | 
A. x  e.  s  ( ( ( 0g
`  g ) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( y ( +g  `  g
) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } )
21elmpt2cl 6247 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( G  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V ) )
3 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  g )  e.  _V
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  ( Base `  g
)  e.  _V )
5 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  s  =  Y )
6 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( Base `  g
)  ->  b  =  ( Base `  g )
)
7 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  g  =  G )
87fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  ( Base `  g
)  =  ( Base `  G ) )
9 isga.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( Base `  G
)
108, 9syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  ( Base `  g
)  =  X )
116, 10sylan9eqr 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  b  =  X )
1211, 5xpeq12d 4862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
b  X.  s )  =  ( X  X.  Y ) )
135, 12oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
s  ^m  ( b  X.  s ) )  =  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) ) )
14 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  g  =  G )
1514fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( 0g `  g )  =  ( 0g `  G
) )
16 isga.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1715, 16syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( 0g `  g )  =  .0.  )
1817oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( 0g `  g
) m x )  =  (  .0.  m x ) )
1918eqeq1d 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( ( 0g `  g ) m x )  =  x  <->  (  .0.  m x )  =  x ) )
2014fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( +g  `  g )  =  ( +g  `  G
) )
21 isga.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2220, 21syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( +g  `  g )  = 
.+  )
2322oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
y ( +g  `  g
) z )  =  ( y  .+  z
) )
2423oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( ( y  .+  z ) m x ) )
2524eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( ( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) )
2611, 25raleqbidv 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( A. z  e.  b 
( ( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) )
2711, 26raleqbidv 2876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) )
2819, 27anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( ( ( 0g
`  g ) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( y ( +g  `  g
) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) )  <->  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) ) )
295, 28raleqbidv 2876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( A. x  e.  s 
( ( ( 0g
`  g ) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( y ( +g  `  g
) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) )  <->  A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) ) )
3013, 29rabeqbidv 2911 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  { m  e.  ( s  ^m  (
b  X.  s ) )  |  A. x  e.  s  ( (
( 0g `  g
) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) }  =  { m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  | 
A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } )
314, 30csbied 3253 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  [_ ( Base `  g
)  /  b ]_ { m  e.  (
s  ^m  ( b  X.  s ) )  | 
A. x  e.  s  ( ( ( 0g
`  g ) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( y ( +g  `  g
) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) }  =  {
m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  | 
A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } )
32 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  e. 
_V
3332rabex 4314 . . . . . 6  |-  { m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  |  A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) }  e.  _V
3431, 1, 33ovmpt2a 6163 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  ( G  GrpAct  Y )  =  { m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  |  A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } )
3534eleq2d 2471 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <->  .(+)  e.  {
m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  | 
A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } ) )
36 oveq 6046 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  .(+)  ->  (  .0.  m x )  =  (  .0.  .(+)  x ) )
3736eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( (  .0.  m x )  =  x  <->  (  .0.  .(+) 
x )  =  x ) )
38 oveq 6046 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( ( y  .+  z ) m x )  =  ( ( y  .+  z )  .(+)  x ) )
39 oveq 6046 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( y m ( z m x ) )  =  ( y  .(+)  ( z m x ) ) )
40 oveq 6046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( z m x )  =  ( z  .(+)  x ) )
4140oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( y 
.(+)  ( z m x ) )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) )
4239, 41eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( y m ( z m x ) )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) )
4338, 42eqeq12d 2418 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( ( ( y  .+  z
) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  ( (
y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) )
44432ralbidv 2708 . . . . . . 7  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) )
4537, 44anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) )  <->  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) )
4645ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( A. x  e.  Y  (
(  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) )  <->  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) )
4746elrab 3052 . . . 4  |-  (  .(+)  e. 
{ m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  |  A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) }  <->  (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) )
4835, 47syl6bb 253 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <->  (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) ) )
49 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
50 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  e.  _V
519, 50eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
52 xpexg 4948 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  X.  Y
)  e.  _V )
5351, 49, 52sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  X.  Y
)  e.  _V )
54 elmapg 6990 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  ( X  X.  Y
)  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  <->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y ) )
5549, 53, 54syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  <->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y ) )
5655anbi1d 686 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  ( (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) )  <-> 
(  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) ) )
5748, 56bitrd 245 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <->  (  .(+)  : ( X  X.  Y
) --> Y  /\  A. x  e.  Y  (
(  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
)  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) ) ) ) )
582, 57biadan2 624 1  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
)  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916   [_csb 3211    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640    GrpAct cga 15021
This theorem is referenced by:  gagrp  15024  gaset  15025  gagrpid  15026  gaf  15027  gaass  15029  ga0  15030  gaid  15031  subgga  15032  gass  15033  gasubg  15034  lactghmga  15062  sylow1lem2  15188  sylow2blem2  15210  sylow3lem1  15216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-ga 15022
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