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Theorem isfuncd 14773
Description: Deduce that an operation is a functor of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfunc.b  |-  B  =  ( Base `  D
)
isfunc.c  |-  C  =  ( Base `  E
)
isfunc.h  |-  H  =  ( Hom  `  D
)
isfunc.j  |-  J  =  ( Hom  `  E
)
isfunc.1  |-  .1.  =  ( Id `  D )
isfunc.i  |-  I  =  ( Id `  E
)
isfunc.x  |-  .x.  =  (comp `  D )
isfunc.o  |-  O  =  (comp `  E )
isfunc.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
isfunc.e  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
isfuncd.1  |-  ( ph  ->  F : B --> C )
isfuncd.2  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( B  X.  B ) )
isfuncd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) ) )
isfuncd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
) )
isfuncd.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) ) )  ->  ( (
x G z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
Assertion
Ref Expression
isfuncd  |-  ( ph  ->  F ( D  Func  E ) G )
Distinct variable groups:    m, n, x, y, z, B    D, m, n, x, y, z   
m, E, n, x, y, z    m, H, n, x, y, z   
m, F, n, x, y, z    m, G, n, x, y, z   
x, J, y, z    ph, m, n, x, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, m, n)    .x. ( x, y, z, m, n)    .1. ( x, y, z, m, n)    I( x, y, z, m, n)    J( m, n)    O( x, y, z, m, n)

Proof of Theorem isfuncd
StepHypRef Expression
1 isfuncd.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : B --> C )
2 isfuncd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( B  X.  B ) )
3 isfunc.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  D
)
4 fvex 5699 . . . . . 6  |-  ( Base `  D )  e.  _V
53, 4eqeltri 2511 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
65, 5xpex 6506 . . . 4  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
7 fnex 5942 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  ( B  X.  B )  /\  ( B  X.  B
)  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
82, 6, 7sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
9 isfuncd.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) ) )
10 ovex 6114 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  e. 
_V
11 ovex 6114 . . . . . . 7  |-  ( x H y )  e. 
_V
1210, 11elmap 7239 . . . . . 6  |-  ( ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) ) )
139, 12sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x G y )  e.  ( ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
1413ralrimivva 2806 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
15 fveq2 5689 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  z )  =  ( G `  <. x ,  y >. )
)
16 df-ov 6092 . . . . . . 7  |-  ( x G y )  =  ( G `  <. x ,  y >. )
1715, 16syl6eqr 2491 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  z )  =  ( x G y ) )
18 vex 2973 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
19 vex 2973 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2018, 19op1std 6585 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
2120fveq2d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 1st `  z ) )  =  ( F `
 x ) )
2218, 19op2ndd 6586 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
2322fveq2d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 2nd `  z ) )  =  ( F `
 y ) )
2421, 23oveq12d 6107 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) ) )
25 fveq2 5689 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
26 df-ov 6092 . . . . . . . 8  |-  ( x H y )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
2725, 26syl6eqr 2491 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( x H y ) )
2824, 27oveq12d 6107 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  =  ( ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
2917, 28eleq12d 2509 . . . . 5  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( x G y )  e.  ( ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) )  ^m  (
x H y ) ) ) )
3029ralxp 4979 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( B  X.  B ) ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y )  e.  ( ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) )  ^m  (
x H y ) ) )
3114, 30sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( B  X.  B ) ( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )
32 elixp2 7265 . . 3  |-  ( G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( G  e.  _V  /\  G  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. z  e.  ( B  X.  B
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
338, 2, 31, 32syl3anbrc 1172 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )
34 isfuncd.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
) )
35 isfuncd.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) ) )  ->  ( (
x G z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
36353expia 1189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) )  ->  (
( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
37363exp2 1205 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( z  e.  B  ->  ( ( m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) )  ->  (
( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) ) )
3837imp43 595 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) )  ->  ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
3938ralrimivv 2805 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
4039ralrimivva 2806 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
4134, 40jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
4241ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `  (  .1.  `  x )
)  =  ( I `
 ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
43 isfunc.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  E
)
44 isfunc.h . . 3  |-  H  =  ( Hom  `  D
)
45 isfunc.j . . 3  |-  J  =  ( Hom  `  E
)
46 isfunc.1 . . 3  |-  .1.  =  ( Id `  D )
47 isfunc.i . . 3  |-  I  =  ( Id `  E
)
48 isfunc.x . . 3  |-  .x.  =  (comp `  D )
49 isfunc.o . . 3  |-  O  =  (comp `  E )
50 isfunc.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
51 isfunc.e . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
523, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51isfunc 14772 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( D 
Func  E ) G  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
531, 33, 42, 52mpbir3and 1171 1  |-  ( ph  ->  F ( D  Func  E ) G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   _Vcvv 2970   <.cop 3881   class class class wbr 4290    X. cxp 4836    Fn wfn 5411   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   1stc1st 6573   2ndc2nd 6574    ^m cmap 7212   X_cixp 7261   Basecbs 14172   Hom chom 14247  compcco 14248   Catccat 14600   Idccid 14601    Func cfunc 14762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-map 7214  df-ixp 7262  df-func 14766
This theorem is referenced by:  funcoppc  14783  funcres  14804  catcisolem  14972  1stfcl  15005  2ndfcl  15006  prfcl  15011  evlfcl  15030  curf1cl  15036  curfcl  15040  hofcl  15067
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