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Theorem isfunc 14016
Description: Value of the set of functors between two categories. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfunc.b  |-  B  =  ( Base `  D
)
isfunc.c  |-  C  =  ( Base `  E
)
isfunc.h  |-  H  =  (  Hom  `  D
)
isfunc.j  |-  J  =  (  Hom  `  E
)
isfunc.1  |-  .1.  =  ( Id `  D )
isfunc.i  |-  I  =  ( Id `  E
)
isfunc.x  |-  .x.  =  (comp `  D )
isfunc.o  |-  O  =  (comp `  E )
isfunc.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
isfunc.e  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
Assertion
Ref Expression
isfunc  |-  ( ph  ->  ( F ( D 
Func  E ) G  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, x, y, z, B    D, m, n, x, y, z   
m, E, n, x, y, z    m, H, n, x, y, z   
m, F, n, x, y, z    m, G, n, x, y, z   
x, J, y, z    ph, m, n, x, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, m, n)    .x. ( x, y, z, m, n)    .1. ( x, y, z, m, n)    I( x, y, z, m, n)    J( m, n)    O( x, y, z, m, n)

Proof of Theorem isfunc
Dummy variables  b 
d  e  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfunc.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
2 isfunc.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
3 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  d )  e.  _V
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  ( Base `  d
)  e.  _V )
5 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  d  =  D )
65fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  ( Base `  d
)  =  ( Base `  D ) )
7 isfunc.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  D
)
86, 7syl6eqr 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  ( Base `  d
)  =  B )
9 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  b  =  B )
10 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  e  =  E )
1110fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Base `  e )  =  ( Base `  E
) )
12 isfunc.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( Base `  E
)
1311, 12syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Base `  e )  =  C )
149, 13feq23d 5547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
f : b --> (
Base `  e )  <->  f : B --> C ) )
15 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  E )  e.  _V
1612, 15eqeltri 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  C  e. 
_V
17 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  D )  e.  _V
187, 17eqeltri 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
1916, 18elmap 7001 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( C  ^m  B )  <->  f : B
--> C )
2014, 19syl6bbr 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
f : b --> (
Base `  e )  <->  f  e.  ( C  ^m  B ) ) )
219, 9xpeq12d 4862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
b  X.  b )  =  ( B  X.  B ) )
2221ixpeq1d 7033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  X_ z  e.  ( b  X.  b
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e )
( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d ) `  z ) )  = 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  e ) ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d
) `  z )
) )
2310fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (  Hom  `  e )  =  (  Hom  `  E
) )
24 isfunc.j . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  J  =  (  Hom  `  E
)
2523, 24syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (  Hom  `  e )  =  J )
2625oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) ) )
27 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  d  =  D )
2827fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (  Hom  `  d )  =  (  Hom  `  D
) )
29 isfunc.h . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  H  =  (  Hom  `  D
)
3028, 29syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (  Hom  `  d )  =  H )
3130fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
(  Hom  `  d ) `
 z )  =  ( H `  z
) )
3226, 31oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  =  ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )
3332ixpeq2dv 7037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e )
( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d ) `  z ) )  = 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )
3422, 33eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  X_ z  e.  ( b  X.  b
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e )
( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d ) `  z ) )  = 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )
3534eleq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e )
( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d ) `  z ) )  <->  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
3627fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Id `  d )  =  ( Id `  D
) )
37 isfunc.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .1.  =  ( Id `  D )
3836, 37syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Id `  d )  =  .1.  )
3938fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( Id `  d
) `  x )  =  (  .1.  `  x
) )
4039fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( x g x ) `  ( ( Id `  d ) `
 x ) )  =  ( ( x g x ) `  (  .1.  `  x )
) )
4110fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Id `  e )  =  ( Id `  E
) )
42 isfunc.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  =  ( Id `  E
)
4341, 42syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Id `  e )  =  I )
4443fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( Id `  e
) `  ( f `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
) )
4540, 44eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( x g x ) `  (
( Id `  d
) `  x )
)  =  ( ( Id `  e ) `
 ( f `  x ) )  <->  ( (
x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
) ) )
4630oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
x (  Hom  `  d
) y )  =  ( x H y ) )
4730oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
y (  Hom  `  d
) z )  =  ( y H z ) )
4827fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (comp `  d )  =  (comp `  D ) )
49 isfunc.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  .x.  =  (comp `  D )
5048, 49syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (comp `  d )  =  .x.  )
5150oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( <. x ,  y >.
(comp `  d )
z )  =  (
<. x ,  y >.  .x.  z ) )
5251oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
n ( <. x ,  y >. (comp `  d ) z ) m )  =  ( n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )
5352fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( x g z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.  .x.  z ) m ) ) )
5410fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (comp `  e )  =  (comp `  E ) )
55 isfunc.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  O  =  (comp `  E )
5654, 55syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (comp `  e )  =  O )
5756oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( <. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.
(comp `  e )
( f `  z
) )  =  (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) )
5857oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. (comp `  e ) ( f `
 z ) ) ( ( x g y ) `  m
) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) )
5953, 58eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >. (comp `  d ) z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.
(comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <-> 
( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
6047, 59raleqbidv 2876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. n  e.  (
y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <->  A. n  e.  (
y H z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
6146, 60raleqbidv 2876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. m  e.  (
x (  Hom  `  d
) y ) A. n  e.  ( y
(  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.
(comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <->  A. m  e.  (
x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
629, 61raleqbidv 2876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. z  e.  b  A. m  e.  (
x (  Hom  `  d
) y ) A. n  e.  ( y
(  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.
(comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <->  A. z  e.  B  A. m  e.  (
x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
639, 62raleqbidv 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  (
x (  Hom  `  d
) y ) A. n  e.  ( y
(  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.
(comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  (
x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
6445, 63anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( ( x g x ) `  ( ( Id `  d ) `  x
) )  =  ( ( Id `  e
) `  ( f `  x ) )  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x
(  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >. (comp `  d ) z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.
(comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) )  <->  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )
659, 64raleqbidv 2876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. x  e.  b 
( ( ( x g x ) `  ( ( Id `  d ) `  x
) )  =  ( ( Id `  e
) `  ( f `  x ) )  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x
(  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >. (comp `  d ) z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.
(comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `  (  .1.  `  x )
)  =  ( I `
 ( f `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )
6620, 35, 653anbi123d 1254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) )  <->  ( f  e.  ( C  ^m  B
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) ) )
67 df-3an 938 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )  <->  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )
6866, 67syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) )  <->  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) ) )
694, 8, 68sbcied2 3158 . . . . . 6  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  ( [. ( Base `  d )  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) )  <->  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) ) )
7069opabbidv 4231 . . . . 5  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  { <. f ,  g
>.  |  [. ( Base `  d )  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) ) }  =  { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } )
71 df-func 14010 . . . . 5  |-  Func  =  ( d  e.  Cat ,  e  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  [. ( Base `  d
)  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) ) } )
72 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( C  ^m  B )  e. 
_V
73 snex 4365 . . . . . . . 8  |-  { f }  e.  _V
74 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  e.  _V
7574rgenw 2733 . . . . . . . . 9  |-  A. z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  e.  _V
76 ixpexg 7045 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  e.  _V  ->  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  e.  _V )
7775, 76ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  e.  _V
7873, 77xpex 4949 . . . . . . 7  |-  ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  e.  _V
7972, 78iunex 5950 . . . . . 6  |-  U_ f  e.  ( C  ^m  B
) ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  e.  _V
80 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )  ->  ( f  e.  ( C  ^m  B
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8180anim2i 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  =  <. f ,  g >.  /\  (
( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )  ->  (
d  =  <. f ,  g >.  /\  (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) ) ) )
82812eximi 1583 . . . . . . . 8  |-  ( E. f E. g ( d  =  <. f ,  g >.  /\  (
( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )  ->  E. f E. g ( d  = 
<. f ,  g >.  /\  ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) ) ) )
83 elopab 4422 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  <->  E. f E. g ( d  = 
<. f ,  g >.  /\  ( ( f  e.  ( C  ^m  B
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) ) )
84 eliunxp 4971 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  U_ f  e.  ( C  ^m  B
) ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  <->  E. f E. g
( d  =  <. f ,  g >.  /\  (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) ) ) )
8582, 83, 843imtr4i 258 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  ->  d  e.  U_ f  e.  ( C  ^m  B ) ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8685ssriv 3312 . . . . . 6  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  C_  U_ f  e.  ( C  ^m  B
) ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )
8779, 86ssexi 4308 . . . . 5  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  e.  _V
8870, 71, 87ovmpt2a 6163 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Cat  /\  E  e.  Cat )  ->  ( D  Func  E
)  =  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } )
891, 2, 88syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  Func  E
)  =  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } )
9089breqd 4183 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( D 
Func  E ) G  <->  F { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } G ) )
91 brabv 6079 . . . 4  |-  ( F { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } G  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e. 
_V ) )
92 elex 2924 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( C  ^m  B )  ->  F  e.  _V )
93 elex 2924 . . . . . 6  |-  ( G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  ->  G  e.  _V )
9492, 93anim12i 550 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  B )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e. 
_V ) )
95943adant3 977 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  B )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )  -> 
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )
)
96 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  f  =  F )
9796eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
F  e.  ( C  ^m  B ) ) )
98 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  g  =  G )
9996fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  ( 1st `  z ) )  =  ( F `  ( 1st `  z ) ) )
10096fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  ( 2nd `  z ) )  =  ( F `  ( 2nd `  z ) ) )
10199, 100oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) ) )
102101oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  =  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )
103102ixpeq2dv 7037 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  -> 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  = 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )
10498, 103eleq12d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) ) )
10598oveqd 6057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g x )  =  ( x G x ) )
106105fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( ( x G x ) `  (  .1.  `  x )
) )
10796fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  x
)  =  ( F `
 x ) )
108107fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( I `  (
f `  x )
)  =  ( I `
 ( F `  x ) ) )
109106, 108eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( x g x ) `  (  .1.  `  x )
)  =  ( I `
 ( f `  x ) )  <->  ( (
x G x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
) ) )
11098oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g z )  =  ( x G z ) )
111110fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) ) )
11296fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  y
)  =  ( F `
 y ) )
113107, 112opeq12d 3952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  -> 
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.  =  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. )
11496fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  z
)  =  ( F `
 z ) )
115113, 114oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) )  =  ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) )
11698oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( y g z )  =  ( y G z ) )
117116fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( y g z ) `  n
)  =  ( ( y G z ) `
 n ) )
11898oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g y )  =  ( x G y ) )
119118fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( x g y ) `  m
)  =  ( ( x G y ) `
 m ) )
120115, 117, 119oveq123d 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
121111, 120eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) )  <->  ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
1221212ralbidv 2708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) )  <->  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `
 n ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
1231222ralbidv 2708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  (
x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `
 n ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
124109, 123anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) )  <->  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) )
125124ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) )
12697, 104, 1253anbi123d 1254 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f  e.  ( C  ^m  B
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )  <->  ( F  e.  ( C  ^m  B
)  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
12767, 126syl5bbr 251 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )  <->  ( F  e.  ( C  ^m  B
)  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
128 eqid 2404 . . . . 5  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }
129127, 128brabga 4429 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } G  <->  ( F  e.  ( C  ^m  B
)  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
13091, 95, 129pm5.21nii 343 . . 3  |-  ( F { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
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f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } G  <->  ( F  e.  ( C  ^m  B
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 ( 2nd `  z
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( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
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x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) )
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 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
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>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
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>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) )
133130, 132bitri 241 . 2  |-  ( F { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
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 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
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x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
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--> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
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13490, 133syl6bb 253 1  |-  ( ph  ->  ( F ( D 
Func  E ) G  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
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>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [.wsbc 3121   {csn 3774   <.cop 3777   U_ciun 4053   class class class wbr 4172   {copab 4225    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307    ^m cmap 6977   X_cixp 7022   Basecbs 13424    Hom chom 13495  compcco 13496   Catccat 13844   Idccid 13845    Func cfunc 14006
This theorem is referenced by:  isfuncd  14017  funcf1  14018  funcixp  14019  funcid  14022  funcco  14023  idfucl  14033  cofucl  14040  funcres2b  14049  funcpropd  14052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-ixp 7023  df-func 14010
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