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Theorem isfth 15132
Description: Value of the set of faithful functors between two categories. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
isfth.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
isfth  |-  ( F ( C Faith  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, D, y    x, F, y   
x, G, y

Proof of Theorem isfth
Dummy variables  c 
d  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fthfunc 15125 . . 3  |-  ( C Faith 
D )  C_  ( C  Func  D )
21ssbri 4484 . 2  |-  ( F ( C Faith  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
3 df-br 4443 . . . . . . 7  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
4 funcrcl 15081 . . . . . . 7  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
53, 4sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat ) )
6 oveq12 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( c  Func  d
)  =  ( C 
Func  D ) )
76breqd 4453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( f ( c 
Func  d ) g  <-> 
f ( C  Func  D ) g ) )
8 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  c  =  C )
98fveq2d 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( Base `  c
)  =  ( Base `  C ) )
10 isfth.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  C
)
119, 10syl6eqr 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( Base `  c
)  =  B )
1211raleqdv 3059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y )  <->  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) )
1311, 12raleqbidv 3067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) )
147, 13anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( f ( c  Func  d )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y ) )  <->  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) ) )
1514opabbidv 4505 . . . . . . 7  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( f
( c  Func  d
) g  /\  A. x  e.  ( Base `  c ) A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } )
16 df-fth 15123 . . . . . . 7  |- Faith  =  ( c  e.  Cat , 
d  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  ( f ( c  Func  d )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y ) ) } )
17 ovex 6302 . . . . . . . 8  |-  ( C 
Func  D )  e.  _V
18 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) )  ->  f
( C  Func  D
) g )
1918ssopab2i 4770 . . . . . . . . 9  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }  C_  {
<. f ,  g >.  |  f ( C 
Func  D ) g }
20 opabss 4503 . . . . . . . . 9  |-  { <. f ,  g >.  |  f ( C  Func  D
) g }  C_  ( C  Func  D )
2119, 20sstri 3508 . . . . . . . 8  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }  C_  ( C  Func  D )
2217, 21ssexi 4587 . . . . . . 7  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }  e.  _V
2315, 16, 22ovmpt2a 6410 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C Faith  D )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } )
245, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C Faith  D )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } )
2524breqd 4453 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Faith  D
) G  <->  F { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } G ) )
26 relfunc 15080 . . . . . 6  |-  Rel  ( C  Func  D )
27 brrelex12 5031 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  ( C  Func  D )  /\  F ( C  Func  D ) G )  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
2826, 27mpan 670 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
29 breq12 4447 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f ( C 
Func  D ) g  <->  F ( C  Func  D ) G ) )
30 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  g  =  G )
3130oveqd 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g y )  =  ( x G y ) )
3231cnveqd 5171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  `' ( x g y )  =  `' ( x G y ) )
3332funeqd 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( Fun  `' ( x g y )  <->  Fun  `' ( x G y ) ) )
34332ralbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
3529, 34anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) )  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) ) )
36 eqid 2462 . . . . . 6  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }  =  { <. f ,  g
>.  |  ( f
( C  Func  D
) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }
3735, 36brabga 4756 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) ) )
3828, 37syl 16 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F { <. f ,  g
>.  |  ( f
( C  Func  D
) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) ) )
3925, 38bitrd 253 . . 3  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Faith  D
) G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) ) )
4039bianabs 876 . 2  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Faith  D
) G  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
412, 40biadan2 642 1  |-  ( F ( C Faith  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   _Vcvv 3108   <.cop 4028   class class class wbr 4442   {copab 4499   `'ccnv 4993   Rel wrel 4999   Fun wfun 5575   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Basecbs 14481   Catccat 14910    Func cfunc 15072   Faith cfth 15121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-func 15076  df-fth 15123
This theorem is referenced by:  isfth2  15133  fthpropd  15139  fthoppc  15141  fthres2b  15148  fthres2c  15149  fthres2  15150
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