Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne4 Structured version   Unicode version

Theorem isfne4 28676
Description: The predicate " B is finer than  A " in terms of the topology generation function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1  |-  X  = 
U. A
isfne.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
isfne4  |-  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B )
) )

Proof of Theorem isfne4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnerel 28674 . . 3  |-  Rel  Fne
21brrelex2i 4975 . 2  |-  ( A Fne B  ->  B  e.  _V )
3 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B
) )  ->  X  =  Y )
4 isfne.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. A
5 isfne.2 . . . . 5  |-  Y  = 
U. B
63, 4, 53eqtr3g 2514 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. A  =  U. B )
7 fvex 5796 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
87ssex 4531 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( topGen `  B
)  ->  A  e.  _V )
98adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B
) )  ->  A  e.  _V )
10 uniexb 6483 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
119, 10sylib 196 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. A  e.  _V )
126, 11eqeltrrd 2538 . . 3  |-  ( ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. B  e.  _V )
13 uniexb 6483 . . 3  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
1412, 13sylibr 212 . 2  |-  ( ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B
) )  ->  B  e.  _V )
154, 5isfne 28675 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) ) )
16 dfss3 3441 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  A  x  e.  ( topGen `  B ) )
17 eltg 18675 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
1817ralbidv 2839 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. x  e.  A  x  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  A  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
1916, 18syl5bb 257 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  A  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
2019anbi2d 703 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  (
( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `
 B ) )  <-> 
( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) ) )
2115, 20bitr4d 256 . 2  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B )
) ) )
222, 14, 21pm5.21nii 353 1  |-  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2793   _Vcvv 3065    i^i cin 3422    C_ wss 3423   ~Pcpw 3955   U.cuni 4186   class class class wbr 4387   ` cfv 5513   topGenctg 14475   Fnecfne 28666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-id 4731  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fv 5521  df-topgen 14481  df-fne 28670
This theorem is referenced by:  isfne4b  28677  isfne2  28678  isfne3  28679  fnebas  28680  fnetg  28681  topfne  28697  fnemeet1  28722  fnemeet2  28723  fnejoin1  28724  fnejoin2  28725
  Copyright terms: Public domain W3C validator