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Theorem isflf 19410
Description: The property of being a limit point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isflf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, o    o, s, F    o, J, s    o, L, s    o, X, s    o, Y, s
Allowed substitution hint:    A( s)

Proof of Theorem isflf
StepHypRef Expression
1 flfval 19407 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
21eleq2d 2502 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  A  e.  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) )
3 simp1 983 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4 toponmax 18377 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
543ad2ant1 1004 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  X  e.  J )
6 filfbas 19265 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  ( fBas `  Y )
)
763ad2ant2 1005 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  L  e.  ( fBas `  Y
) )
8 simp3 985 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  F : Y --> X )
9 fmfil 19361 . . . 4  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  X
) )
105, 7, 8, 9syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )
11 flimopn 19392 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) ) )
123, 10, 11syl2anc 656 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) ) )
13 elfm 19364 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L )  <->  ( o  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
145, 7, 8, 13syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  ( o  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
1514adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  ( o  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
16 toponss 18378 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  ->  o  C_  X )
173, 16sylan 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  o  C_  X )
1817biantrurd 505 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o  <->  ( o  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
1915, 18bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) )
2019imbi2d 316 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) )  <-> 
( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
2120ralbidva 2723 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
2221anbi2d 698 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) ) ) )
232, 12, 223bitrd 279 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    e. wcel 1757   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3318   "cima 4832   -->wf 5404   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   fBascfbas 17650  TopOnctopon 18343   Filcfil 19262    FilMap cfm 19350    fLim cflim 19351    fLimf cflf 19352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-op 3874  df-uni 4082  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-id 4625  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-map 7206  df-fbas 17660  df-fg 17661  df-top 18347  df-topon 18350  df-ntr 18468  df-nei 18546  df-fil 19263  df-fm 19355  df-flim 19356  df-flf 19357
This theorem is referenced by:  flfelbas  19411  flffbas  19412  flftg  19413  cnpflfi  19416  cnpflf2  19417  txflf  19423  limcflf  21200  rrhre  26303
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