Theorem isfld 14775

Description: The predicate "is a field".

Assertion

Ref	Expression
isfld	|- ((G e. A /\ H e. B) -> (<.G, H>. e. Fld <-> (<.G, H>. e. DivRing /\ A.x e. ran GA.y e. ran G(xHy) = (yHx))))

Distinct variable groups:   x,G,y   x,H,y

Proof of Theorem isfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fld 10398	. . . 4 |- Fld = (DivRing i^i Com2)
2	1	a1i 8	. . 3 |- ((G e. A /\ H e. B) -> Fld = (DivRing i^i Com2))
3	2	eleq2d 1964	. 2 |- ((G e. A /\ H e. B) -> (<.G, H>. e. Fld <-> <.G, H>. e. (DivRing i^i Com2)))
4		elin 2786	. . 3 |- (<.G, H>. e. (DivRing i^i Com2) <-> (<.G, H>. e. DivRing /\ <.G, H>. e. Com2))
5	4	a1i 8	. 2 |- ((G e. A /\ H e. B) -> (<.G, H>. e. (DivRing i^i Com2) <-> (<.G, H>. e. DivRing /\ <.G, H>. e. Com2)))
6		iscom2 10396	. . 3 |- ((G e. A /\ H e. B) -> (<.G, H>. e. Com2 <-> A.x e. ran GA.y e. ran G(xHy) = (yHx)))
7	6	anbi2d 678	. 2 |- ((G e. A /\ H e. B) -> ((<.G, H>. e. DivRing /\ <.G, H>. e. Com2) <-> (<.G, H>. e. DivRing /\ A.x e. ran GA.y e. ran G(xHy) = (yHx))))
8	3, 5, 7	3bitrd 603	1 |- ((G e. A /\ H e. B) -> (<.G, H>. e. Fld <-> (<.G, H>. e. DivRing /\ A.x e. ran GA.y e. ran G(xHy) = (yHx))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   i^i cin 2592  <.cop 3046  ran crn 3987  (class class class)co 4884  DivRingcdrng 9491  Com2ccm2 10394  Fldcfld 10397

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-opr 4886  df-com2 10395  df-fld 10398

Copyright terms: Public domain