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Theorem isfinite2 7833
Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isfinite2  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem isfinite2
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 7582 . . 3  |-  Rel  ~<
21brrelex2i 4893 . 2  |-  ( A 
~<  om  ->  om  e.  _V )
3 sdomdom 7602 . . . 4  |-  ( A 
~<  om  ->  A  ~<_  om )
4 domeng 7589 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  ~<_  om  <->  E. y ( A 
~~  y  /\  y  C_ 
om ) ) )
53, 4syl5ib 223 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  ~<  om  ->  E. y
( A  ~~  y  /\  y  C_  om )
) )
6 ensym 7623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
~~  y  ->  y  ~~  A )
76ad2antrl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
y  ~~  A )
8 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  A  ~<  om )
9 ensdomtr 7712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  ~~  A  /\  A  ~<  om )  ->  y  ~<  om )
107, 8, 9syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
y  ~<  om )
11 sdomnen 7603 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
~<  om  ->  -.  y  ~~  om )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  -.  y  ~~  om )
13 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  ~~  y  /\  y  C_  om )  -> 
y  C_  om )
14 unbnn 7831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  _V  /\  y  C_  om  /\  A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w )  ->  y  ~~  om )
15143expia 1208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  _V  /\  y  C_  om )  -> 
( A. z  e. 
om  E. w  e.  y  z  e.  w  -> 
y  ~~  om )
)
162, 13, 15syl2an 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
( A. z  e. 
om  E. w  e.  y  z  e.  w  -> 
y  ~~  om )
)
1712, 16mtod 181 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  -.  A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w )
18 rexnal 2874 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  om  -.  E. w  e.  y  z  e.  w  <->  -.  A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w
)
19 omsson 6708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  C_  On
20 sstr 3473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  om  /\  om  C_  On )  ->  y  C_  On )
2119, 20mpan2 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  om  ->  y  C_  On )
22 nnord 6712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  Ord  z )
23 ssel2 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  C_  On  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  On )
24 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  w  e. 
_V
2524elon 5449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  On  <->  Ord  w )
2623, 25sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  On  /\  w  e.  y )  ->  Ord  w )
27 ordtri1 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  w  /\  Ord  z )  ->  (
w  C_  z  <->  -.  z  e.  w ) )
2826, 27sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  w  e.  y )  /\  Ord  z )  ->  ( w  C_  z 
<->  -.  z  e.  w
) )
2928an32s 812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  C_  On  /\ 
Ord  z )  /\  w  e.  y )  ->  ( w  C_  z  <->  -.  z  e.  w ) )
3029ralbidva 2862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  On  /\  Ord  z )  ->  ( A. w  e.  y  w  C_  z  <->  A. w  e.  y  -.  z  e.  w ) )
31 unissb 4248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. y  C_  z  <->  A. w  e.  y  w  C_  z
)
32 ralnex 2872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  y  -.  z  e.  w  <->  -.  E. w  e.  y  z  e.  w )
3332bicomi 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
E. w  e.  y  z  e.  w  <->  A. w  e.  y  -.  z  e.  w )
3430, 31, 333bitr4g 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  On  /\  Ord  z )  ->  ( U. y  C_  z  <->  -.  E. w  e.  y  z  e.  w ) )
35 ordunisssuc 5542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  On  /\  Ord  z )  ->  ( U. y  C_  z  <->  y  C_  suc  z ) )
3634, 35bitr3d 259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  On  /\  Ord  z )  ->  ( -.  E. w  e.  y  z  e.  w  <->  y  C_  suc  z ) )
3721, 22, 36syl2an 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  om  /\  z  e.  om )  ->  ( -.  E. w  e.  y  z  e.  w  <->  y  C_  suc  z ) )
38 peano2b 6720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  om  <->  suc  z  e. 
om )
39 ssnnfi 7795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( suc  z  e.  om  /\  y  C_  suc  z )  ->  y  e.  Fin )
4038, 39sylanb 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  om  /\  y  C_  suc  z )  ->  y  e.  Fin )
4140ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  (
y  C_  suc  z  -> 
y  e.  Fin )
)
4241adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  om  /\  z  e.  om )  ->  (
y  C_  suc  z  -> 
y  e.  Fin )
)
4337, 42sylbid 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  om  /\  z  e.  om )  ->  ( -.  E. w  e.  y  z  e.  w  -> 
y  e.  Fin )
)
4443rexlimdva 2918 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  om  ->  ( E. z  e.  om  -.  E. w  e.  y  z  e.  w  ->  y  e.  Fin ) )
4518, 44syl5bir 222 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  om  ->  ( -. 
A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w  ->  y  e.  Fin ) )
4645ad2antll 734 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
( -.  A. z  e.  om  E. w  e.  y  z  e.  w  ->  y  e.  Fin )
)
4717, 46mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  -> 
y  e.  Fin )
48 simprl 763 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  A  ~~  y )
49 enfii 7793 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  A  ~~  y )  ->  A  e.  Fin )
5047, 48, 49syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<  om  /\  ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om ) )  ->  A  e.  Fin )
5150ex 436 . . . 4  |-  ( A 
~<  om  ->  ( ( A  ~~  y  /\  y  C_ 
om )  ->  A  e.  Fin ) )
5251exlimdv 1769 . . 3  |-  ( A 
~<  om  ->  ( E. y ( A  ~~  y  /\  y  C_  om )  ->  A  e.  Fin )
)
535, 52sylcom 31 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  ~<  om  ->  A  e. 
Fin ) )
542, 53mpcom 38 1  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   E.wex 1660    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    C_ wss 3437   U.cuni 4217   class class class wbr 4421   Ord word 5439   Oncon0 5440   suc csuc 5442   omcom 6704    ~~ cen 7572    ~<_ cdom 7573    ~< csdm 7574   Fincfn 7575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579
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