Theorem isfinite2 5639

Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
isfinite2	|- (A ~< om -> A e. Fin)

Proof of Theorem isfinite2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomex 5536	. . 3 |- (A ~< om -> (A e. _V /\ om e. _V))
2	1	simprd 352	. 2 |- (A ~< om -> om e. _V)
3		domeng 5439	. . . 4 |- (om e. _V -> (A ~<_ om <-> E.y(A ~~ y /\ y C_ om)))
4		sdomdom 5445	. . . 4 |- (A ~< om -> A ~<_ om)
5	3, 4	syl5bi 225	. . 3 |- (om e. _V -> (A ~< om -> E.y(A ~~ y /\ y C_ om)))
6		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
7	6	unbnn 5637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y C_ om /\ A.z e. om E.w e. y z e. w) -> y ~~ om)
8	7	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- (y C_ om -> (A.z e. om E.w e. y z e. w -> y ~~ om))
9		sdomnen 5446	. . . . . . . . . . . 12 |- (y ~< om -> -. y ~~ om)
10	8, 9	nsyli 136	. . . . . . . . . . 11 |- (y C_ om -> (y ~< om -> -. A.z e. om E.w e. y z e. w))
11		ensdomtr 5534	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y ~~ A /\ A ~< om) -> y ~< om)
12	6	ensym 5471	. . . . . . . . . . . 12 |- (A ~~ y -> y ~~ A)
13	11, 12	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((A ~~ y /\ A ~< om) -> y ~< om)
14	10, 13	syl5 20	. . . . . . . . . 10 |- (y C_ om -> ((A ~~ y /\ A ~< om) -> -. A.z e. om E.w e. y z e. w))
15		ordtri1 3693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((Ord w /\ Ord z) -> (w C_ z <-> -. z e. w))
16		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y C_ On /\ w e. y) -> w e. On)
17		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- w e. _V
18	17	elon 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w e. On <-> Ord w)
19	16, 18	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y C_ On /\ w e. y) -> Ord w)
20	15, 19	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((y C_ On /\ w e. y) /\ Ord z) -> (w C_ z <-> -. z e. w))
21	20	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((y C_ On /\ Ord z) /\ w e. y) -> (w C_ z <-> -. z e. w))
22	21	ralbidva 2119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y C_ On /\ Ord z) -> (A.w e. y w C_ z <-> A.w e. y -. z e. w))
23		unissb 3208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (U.y C_ z <-> A.w e. y w C_ z)
24		ralnex 2113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.w e. y -. z e. w <-> -. E.w e. y z e. w)
25	24	bicomi 189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. E.w e. y z e. w <-> A.w e. y -. z e. w)
26	22, 23, 25	3bitr4g 614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y C_ On /\ Ord z) -> (U.y C_ z <-> -. E.w e. y z e. w))
27		ordunisssuc 3772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y C_ On /\ Ord z) -> (U.y C_ z <-> y C_ suc z))
28	26, 27	bitr3d 589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y C_ On /\ Ord z) -> (-. E.w e. y z e. w <-> y C_ suc z))
29		omsson 3954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- om C_ On
30		sstr 2625	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y C_ om /\ om C_ On) -> y C_ On)
31	29, 30	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y C_ om -> y C_ On)
32		nnord 3959	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. om -> Ord z)
33	28, 31, 32	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y C_ om /\ z e. om) -> (-. E.w e. y z e. w <-> y C_ suc z))
34		ssnnfi 5629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((suc z e. om /\ y C_ suc z) -> y e. Fin)
35		peano2b 3968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. om <-> suc z e. om)
36	34, 35	sylanb 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. om /\ y C_ suc z) -> y e. Fin)
37	36	ex 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. om -> (y C_ suc z -> y e. Fin))
38	37	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y C_ om /\ z e. om) -> (y C_ suc z -> y e. Fin))
39	33, 38	sylbid 220	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y C_ om /\ z e. om) -> (-. E.w e. y z e. w -> y e. Fin))
40	39	r19.23adva 2216	. . . . . . . . . . 11 |- (y C_ om -> (E.z e. om -. E.w e. y z e. w -> y e. Fin))
41		rexnal 2114	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z e. om -. E.w e. y z e. w <-> -. A.z e. om E.w e. y z e. w)
42	40, 41	syl5ibr 224	. . . . . . . . . 10 |- (y C_ om -> (-. A.z e. om E.w e. y z e. w -> y e. Fin))
43	14, 42	syld 30	. . . . . . . . 9 |- (y C_ om -> ((A ~~ y /\ A ~< om) -> y e. Fin))
44	43	expdimp 406	. . . . . . . 8 |- ((y C_ om /\ A ~~ y) -> (A ~< om -> y e. Fin))
45		enfi 5627	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. _V /\ A ~~ y) -> (A e. Fin <-> y e. Fin))
46	6, 45	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- (A ~~ y -> (A e. Fin <-> y e. Fin))
47	46	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((y C_ om /\ A ~~ y) -> (A e. Fin <-> y e. Fin))
48	44, 47	sylibrd 221	. . . . . . 7 |- ((y C_ om /\ A ~~ y) -> (A ~< om -> A e. Fin))
49	48	ex 402	. . . . . 6 |- (y C_ om -> (A ~~ y -> (A ~< om -> A e. Fin)))
50	49	com13 37	. . . . 5 |- (A ~< om -> (A ~~ y -> (y C_ om -> A e. Fin)))
51	50	imp3a 388	. . . 4 |- (A ~< om -> ((A ~~ y /\ y C_ om) -> A e. Fin))
52	51	19.23adv 1584	. . 3 |- (A ~< om -> (E.y(A ~~ y /\ y C_ om) -> A e. Fin))
53	5, 52	sylcom 62	. 2 |- (om e. _V -> (A ~< om -> A e. Fin))
54	2, 53	mpcom 60	1 |- (A ~< om -> A e. Fin)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  Ord word 3656  Oncon0 3657  suc csuc 3659  omcom 3949   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424   ~< csdm 5425  Fincfn 5426

This theorem is referenced by:  unfi2 5645  unifi2 5649  isfinite 5741  sucdom 5994  isfinite3 14435  tarsuc2 15245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430

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