Theorem isfinite 5741

Description: A set is strictly dominated by the class of natural numbers iff it is finite. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem provides two equivalent ways to express "A is finite." The Axiom of Infinity is used for the reverse implication.

Assertion

Ref	Expression
isfinite	|- (A ~< om <-> A e. Fin)

Proof of Theorem isfinite

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 5639	. 2 |- (A ~< om -> A e. Fin)
2		isfinite1 5624	. . 3 |- (A e. Fin -> (A ~<_ om /\ -. om ~~ A))
3		omex 5733	. . . . . . 7 |- om e. _V
4	3	ensym 5471	. . . . . 6 |- (A ~~ om -> om ~~ A)
5	4	con3i 114	. . . . 5 |- (-. om ~~ A -> -. A ~~ om)
6	5	anim2i 362	. . . 4 |- ((A ~<_ om /\ -. om ~~ A) -> (A ~<_ om /\ -. A ~~ om))
7		brsdom 5440	. . . 4 |- (A ~< om <-> (A ~<_ om /\ -. A ~~ om))
8	6, 7	sylibr 217	. . 3 |- ((A ~<_ om /\ -. om ~~ A) -> A ~< om)
9	2, 8	syl 12	. 2 |- (A e. Fin -> A ~< om)
10	1, 9	impbii 174	1 |- (A ~< om <-> A e. Fin)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  omcom 3949   ~~ cen 5423   ~<_ cdom 5424   ~< csdm 5425  Fincfn 5426

This theorem is referenced by:  dominf 6052  fctop2 8921  tarsuc2 15245  ufinffr 15578  ufilen 15579

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430

Copyright terms: Public domain