MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfinite Structured version   Unicode version

Theorem isfinite 7970
Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. The Axiom of Infinity is used for the forward implication. (Contributed by FL, 16-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
isfinite  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )

Proof of Theorem isfinite
StepHypRef Expression
1 omex 7961 . 2  |-  om  e.  _V
2 isfiniteg 7684 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om ) )
31, 2ax-mp 5 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   class class class wbr 4401   omcom 6587    ~< csdm 7420   Fincfn 7421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425
This theorem is referenced by:  infxpenlem  8292  pwsdompw  8485  cflim2  8544  axcc4dom  8722  domtriom  8724  fin41  8725  dominf  8726  infinf  8842  unirnfdomd  8843  dominfac  8849  cfpwsdom  8860  canthp1lem2  8932  pwfseqlem3  8939  pwfseqlem4a  8940  pwfseqlem4  8941  gchpwdom  8949  gchaleph  8950  gchhar  8958  omina  8970  gchina  8978  tskpr  9049  rexpen  13629  odinf  16186  fctop2  18742  dis1stc  19236  ovolfi  21110  iunmbl2  21172  dyadmbl  21214  fict  26159  sigaclfu  26708  sibfof  26871  mblfinlem1  28577  ovoliunnfl  28582  heiborlem3  28861  ctbnfien  29306  pellex  29325  numinfctb  29608
  Copyright terms: Public domain W3C validator