MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfinite Structured version   Unicode version

Theorem isfinite 8060
Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. The Axiom of Infinity is used for the forward implication. (Contributed by FL, 16-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
isfinite  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )

Proof of Theorem isfinite
StepHypRef Expression
1 omex 8051 . 2  |-  om  e.  _V
2 isfiniteg 7772 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om ) )
31, 2ax-mp 5 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439   omcom 6673    ~< csdm 7508   Fincfn 7509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513
This theorem is referenced by:  infxpenlem  8382  pwsdompw  8575  cflim2  8634  axcc4dom  8812  domtriom  8814  fin41  8815  dominf  8816  infinf  8932  unirnfdomd  8933  dominfac  8939  cfpwsdom  8950  canthp1lem2  9020  pwfseqlem3  9027  pwfseqlem4a  9028  pwfseqlem4  9029  gchpwdom  9037  gchaleph  9038  gchhar  9046  omina  9058  gchina  9066  tskpr  9137  rexpen  14045  odinf  16784  fctop2  19673  dis1stc  20166  ovolfi  22071  iunmbl2  22133  dyadmbl  22175  fict  27760  sibfof  28546  mblfinlem1  30291  ovoliunnfl  30296  heiborlem3  30549  ctbnfien  30991  pellex  31010  numinfctb  31293
  Copyright terms: Public domain W3C validator