MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfinite Unicode version

Theorem isfinite 7563
Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. The Axiom of Infinity is used for the forward implication. (Contributed by FL, 16-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
isfinite  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )

Proof of Theorem isfinite
StepHypRef Expression
1 omex 7554 . 2  |-  om  e.  _V
2 isfiniteg 7326 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om ) )
31, 2ax-mp 8 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172   omcom 4804    ~< csdm 7067   Fincfn 7068
This theorem is referenced by:  infxpenlem  7851  pwsdompw  8040  cflim2  8099  axcc4dom  8277  domtriom  8279  fin41  8280  dominf  8281  infinf  8397  unirnfdomd  8398  dominfac  8404  cfpwsdom  8415  canthp1lem2  8484  pwfseqlem3  8491  pwfseqlem4a  8492  pwfseqlem4  8493  gchhar  8502  gchpwdom  8505  gchaleph  8506  omina  8522  gchina  8530  tskpr  8601  rexpen  12782  odinf  15154  fctop2  17024  dis1stc  17515  ovolfi  19343  iunmbl2  19404  dyadmbl  19445  sigaclfu  24455  sibfof  24607  mblfinlem  26143  ovoliunnfl  26147  heiborlem3  26412  ctbnfien  26769  pellex  26788  numinfctb  27136
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072
  Copyright terms: Public domain W3C validator