MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin5-2 Structured version   Unicode version

Theorem isfin5-2 8767
Description: Alternate definition of V-finite which emphasizes the idempotent behavior of V-infinite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin5-2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinV 
<->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  ~~  ( A  +c  A ) ) ) )

Proof of Theorem isfin5-2
StepHypRef Expression
1 nne 2668 . . . . 5  |-  ( -.  A  =/=  (/)  <->  A  =  (/) )
21bicomi 202 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  <->  -.  A  =/=  (/) )
32a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  =  (/)  <->  -.  A  =/=  (/) ) )
4 cdadom3 8564 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  A  ~<_  ( A  +c  A ) )
54anidms 645 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~<_  ( A  +c  A
) )
6 brsdom 7535 . . . . 5  |-  ( A 
~<  ( A  +c  A
)  <->  ( A  ~<_  ( A  +c  A )  /\  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) )
76baib 901 . . . 4  |-  ( A  ~<_  ( A  +c  A
)  ->  ( A  ~<  ( A  +c  A
)  <->  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) )
85, 7syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ~<  ( A  +c  A )  <->  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) )
93, 8orbi12d 709 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  =  (/)  \/  A  ~<  ( A  +c  A ) )  <->  ( -.  A  =/=  (/)  \/  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) ) )
10 isfin5 8675 . 2  |-  ( A  e. FinV  <-> 
( A  =  (/)  \/  A  ~<  ( A  +c  A ) ) )
11 ianor 488 . 2  |-  ( -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  ~~  ( A  +c  A
) )  <->  ( -.  A  =/=  (/)  \/  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) )
129, 10, 113bitr4g 288 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinV 
<->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  ~~  ( A  +c  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   (/)c0 3785   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282    ~~ cen 7510    ~<_ cdom 7511    ~< csdm 7512    +c ccda 8543  FinVcfin5 8658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1o 7127  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-cda 8544  df-fin5 8665
This theorem is referenced by:  fin45  8768
  Copyright terms: Public domain W3C validator