MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin5-2 Structured version   Unicode version

Theorem isfin5-2 8572
Description: Alternate definition of V-finite which emphasizes the idempotent behavior of V-infinite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin5-2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinV 
<->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  ~~  ( A  +c  A ) ) ) )

Proof of Theorem isfin5-2
StepHypRef Expression
1 nne 2624 . . . . 5  |-  ( -.  A  =/=  (/)  <->  A  =  (/) )
21bicomi 202 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  <->  -.  A  =/=  (/) )
32a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  =  (/)  <->  -.  A  =/=  (/) ) )
4 cdadom3 8369 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  A  ~<_  ( A  +c  A ) )
54anidms 645 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~<_  ( A  +c  A
) )
6 brsdom 7344 . . . . 5  |-  ( A 
~<  ( A  +c  A
)  <->  ( A  ~<_  ( A  +c  A )  /\  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) )
76baib 896 . . . 4  |-  ( A  ~<_  ( A  +c  A
)  ->  ( A  ~<  ( A  +c  A
)  <->  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) )
85, 7syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ~<  ( A  +c  A )  <->  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) )
93, 8orbi12d 709 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  =  (/)  \/  A  ~<  ( A  +c  A ) )  <->  ( -.  A  =/=  (/)  \/  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) ) )
10 isfin5 8480 . 2  |-  ( A  e. FinV  <-> 
( A  =  (/)  \/  A  ~<  ( A  +c  A ) ) )
11 ianor 488 . 2  |-  ( -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  ~~  ( A  +c  A
) )  <->  ( -.  A  =/=  (/)  \/  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) )
129, 10, 113bitr4g 288 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinV 
<->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  ~~  ( A  +c  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   (/)c0 3649   class class class wbr 4304  (class class class)co 6103    ~~ cen 7319    ~<_ cdom 7320    ~< csdm 7321    +c ccda 8348  FinVcfin5 8463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-1o 6932  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-cda 8349  df-fin5 8470
This theorem is referenced by:  fin45  8573
  Copyright terms: Public domain W3C validator