Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin4-3 Unicode version

Theorem isfin4-3 8151
 Description: Alternate definition of IV-finite sets: they are strictly dominated by their successors. (Thus, the proper subset referred to in isfin4 8133 can be assumed to be only a singleton smaller than the original.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin4-3 FinIV

Proof of Theorem isfin4-3
StepHypRef Expression
1 1on 6690 . . . 4
2 cdadom3 8024 . . . 4 FinIV
31, 2mpan2 653 . . 3 FinIV
4 ssun1 3470 . . . . . . . 8
5 relen 7073 . . . . . . . . . 10
65brrelexi 4877 . . . . . . . . 9
7 cdaval 8006 . . . . . . . . 9
86, 1, 7sylancl 644 . . . . . . . 8
94, 8syl5sseqr 3357 . . . . . . 7
10 0lt1o 6707 . . . . . . . . . 10
111elexi 2925 . . . . . . . . . . 11
1211snid 3801 . . . . . . . . . 10
13 opelxpi 4869 . . . . . . . . . 10
1410, 12, 13mp2an 654 . . . . . . . . 9
15 elun2 3475 . . . . . . . . 9
1614, 15mp1i 12 . . . . . . . 8
1716, 8eleqtrrd 2481 . . . . . . 7
18 1n0 6698 . . . . . . . 8
19 opelxp2 4871 . . . . . . . . . 10
20 elsni 3798 . . . . . . . . . 10
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9
2221necon3ai 2607 . . . . . . . 8
2318, 22mp1i 12 . . . . . . 7
249, 17, 23ssnelpssd 3652 . . . . . 6
25 0ex 4299 . . . . . . . 8
26 xpsneng 7152 . . . . . . . 8
276, 25, 26sylancl 644 . . . . . . 7
28 entr 7118 . . . . . . 7
2927, 28mpancom 651 . . . . . 6
30 fin4i 8134 . . . . . 6 FinIV
3124, 29, 30syl2anc 643 . . . . 5 FinIV
32 fin4en1 8145 . . . . 5 FinIV FinIV
3331, 32mtod 170 . . . 4 FinIV
3433con2i 114 . . 3 FinIV
35 brsdom 7089 . . 3
363, 34, 35sylanbrc 646 . 2 FinIV
37 sdomnen 7095 . . . 4
38 infcda1 8029 . . . . 5
3938ensymd 7117 . . . 4
4037, 39nsyl 115 . . 3
41 relsdom 7075 . . . . 5
4241brrelexi 4877 . . . 4
43 isfin4-2 8150 . . . 4 FinIV
4442, 43syl 16 . . 3 FinIV
4540, 44mpbird 224 . 2 FinIV
4636, 45impbii 181 1 FinIV
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 177   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  cvv 2916   cun 3278   wpss 3281  c0 3588  csn 3774  cop 3777   class class class wbr 4172  con0 4541  com 4804   cxp 4835  (class class class)co 6040  c1o 6676   cen 7065   cdom 7066   csdm 7067   ccda 8003  FinIVcfin4 8116 This theorem is referenced by:  fin45  8228  finngch  8486  gchinf  8488 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-cda 8004  df-fin4 8123
 Copyright terms: Public domain W3C validator