MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin4-2 Structured version   Unicode version

Theorem isfin4-2 8479
Description: Alternate definition of IV-finite sets: they lack a denumerable subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin4-2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIV 
<->  -.  om  ~<_  A ) )

Proof of Theorem isfin4-2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin4 8462 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIV 
<->  -.  E. x ( x  C.  A  /\  x  ~~  A ) ) )
2 infpssr 8473 . . . . 5  |-  ( ( x  C.  A  /\  x  ~~  A )  ->  om 
~<_  A )
32exlimiv 1693 . . . 4  |-  ( E. x ( x  C.  A  /\  x  ~~  A
)  ->  om  ~<_  A )
4 infpss 8382 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. x
( x  C.  A  /\  x  ~~  A ) )
53, 4impbii 188 . . 3  |-  ( E. x ( x  C.  A  /\  x  ~~  A
)  <->  om  ~<_  A )
65notbii 296 . 2  |-  ( -. 
E. x ( x 
C.  A  /\  x  ~~  A )  <->  -.  om  ~<_  A )
71, 6syl6bb 261 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIV 
<->  -.  om  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   E.wex 1591    e. wcel 1761    C. wpss 3326   class class class wbr 4289   omcom 6475    ~~ cen 7303    ~<_ cdom 7304  FinIVcfin4 8445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fin4 8452
This theorem is referenced by:  isfin4-3  8480  fin23lem41  8517  isfin32i  8530  isfin1-2  8550  fin34  8555  fin41  8609  gchinf  8820
  Copyright terms: Public domain W3C validator