MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin4-2 Structured version   Unicode version

Theorem isfin4-2 8697
Description: Alternate definition of IV-finite sets: they lack a denumerable subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin4-2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIV 
<->  -.  om  ~<_  A ) )

Proof of Theorem isfin4-2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin4 8680 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIV 
<->  -.  E. x ( x  C.  A  /\  x  ~~  A ) ) )
2 infpssr 8691 . . . . 5  |-  ( ( x  C.  A  /\  x  ~~  A )  ->  om 
~<_  A )
32exlimiv 1709 . . . 4  |-  ( E. x ( x  C.  A  /\  x  ~~  A
)  ->  om  ~<_  A )
4 infpss 8600 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. x
( x  C.  A  /\  x  ~~  A ) )
53, 4impbii 188 . . 3  |-  ( E. x ( x  C.  A  /\  x  ~~  A
)  <->  om  ~<_  A )
65notbii 296 . 2  |-  ( -. 
E. x ( x 
C.  A  /\  x  ~~  A )  <->  -.  om  ~<_  A )
71, 6syl6bb 261 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIV 
<->  -.  om  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   E.wex 1599    e. wcel 1804    C. wpss 3462   class class class wbr 4437   omcom 6685    ~~ cen 7515    ~<_ cdom 7516  FinIVcfin4 8663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fin4 8670
This theorem is referenced by:  isfin4-3  8698  fin23lem41  8735  isfin32i  8748  isfin1-2  8768  fin34  8773  fin41  8827  gchinf  9038
  Copyright terms: Public domain W3C validator