MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin32i Structured version   Unicode version

Theorem isfin32i 8736
Description: One half of isfin3-2 8738. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin32i  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_*  A )

Proof of Theorem isfin32i
StepHypRef Expression
1 isfin3 8667 . 2  |-  ( A  e. FinIII  <->  ~P A  e. FinIV )
2 isfin4-2 8685 . . . 4  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -. 
om  ~<_  ~P A ) )
32ibi 241 . . 3  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  -.  om  ~<_  ~P A
)
4 relwdom 7983 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_*
54brrelexi 5034 . . . . 5  |-  ( om  ~<_*  A  ->  om  e.  _V )
6 canth2g 7663 . . . . 5  |-  ( om  e.  _V  ->  om  ~<  ~P
om )
7 sdomdom 7535 . . . . 5  |-  ( om 
~<  ~P om  ->  om  ~<_  ~P om )
85, 6, 73syl 20 . . . 4  |-  ( om  ~<_*  A  ->  om  ~<_  ~P om )
9 wdompwdom 7995 . . . 4  |-  ( om  ~<_*  A  ->  ~P om  ~<_  ~P A
)
10 domtr 7560 . . . 4  |-  ( ( om  ~<_  ~P om  /\  ~P om 
~<_  ~P A )  ->  om 
~<_  ~P A )
118, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( om  ~<_*  A  ->  om  ~<_  ~P A
)
123, 11nsyl 121 . 2  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  -.  om  ~<_*  A )
131, 12sylbi 195 1  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_*  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   ~Pcpw 4005   class class class wbr 4442   omcom 6673    ~<_ cdom 7506    ~< csdm 7507    ~<_* cwdom 7974  FinIVcfin4 8651  FinIIIcfin3 8652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-wdom 7976  df-fin4 8658  df-fin3 8659
This theorem is referenced by:  isf33lem  8737  isfin3-2  8738  fin33i  8740
  Copyright terms: Public domain W3C validator