MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin3-2 Structured version   Unicode version

Theorem isfin3-2 8743
Description: Weakly Dedekind-infinite sets are exactly those which can be mapped onto  om. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin3-2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIII 
<->  -.  om  ~<_*  A ) )

Proof of Theorem isfin3-2
Dummy variables  a 
g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin32i 8741 . 2  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_*  A )
2 isf33lem 8742 . . 3  |- FinIII  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
32isf32lem12 8740 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( -.  om  ~<_*  A  ->  A  e. FinIII )
)
41, 3impbid2 204 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIII 
<->  -.  om  ~<_*  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   omcom 6678    ~<_* cwdom 7979  FinIIIcfin3 8657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-seqom 7110  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-wdom 7981  df-card 8316  df-fin4 8663  df-fin3 8664
This theorem is referenced by:  fin1a2lem7  8782
  Copyright terms: Public domain W3C validator