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Theorem isfin2-2 8767
Description: FinII expressed in terms of minimal elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin2-2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinII 
<-> 
A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    y, A
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem isfin2-2
Dummy variables  b 
c  m  n  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3951 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P ~P A  ->  y  C_  ~P A
)
2 fin2i2 8766 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  y  C_ 
~P A )  /\  ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
) )  ->  |^| y  e.  y )
32ex 441 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinII  /\  y  C_  ~P A )  ->  (
( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) )
41, 3sylan2 482 . . 3  |-  ( ( A  e. FinII  /\  y  e.  ~P ~P A )  -> 
( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) )
54ralrimiva 2809 . 2  |-  ( A  e. FinII  ->  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) )
6 elpwi 3951 . . . . 5  |-  ( b  e.  ~P ~P A  ->  b  C_  ~P A
)
7 simp1r 1055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  ->  b  C_ 
~P A )
8 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } 
C_  ~P A
9 simp1l 1054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  ->  A  e.  V )
10 pwexg 4585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
11 elpw2g 4564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  ~P ~P A 
<->  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  C_  ~P A
) )
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  ->  ( { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  ~P ~P A 
<->  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  C_  ~P A
) )
138, 12mpbiri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  ->  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  e.  ~P ~P A
)
14 simp2 1031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  ->  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) )
15 simp3l 1058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  ->  b  =/=  (/) )
16 fin23lem7 8764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A  /\  b  =/=  (/) )  ->  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  =/=  (/) )
179, 7, 15, 16syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  ->  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  =/=  (/) )
18 sorpsscmpl 6601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ C.]  Or  b  -> [ C.]  Or  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b } )
1918adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
)  -> [ C.]  Or  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b } )
20193ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  -> [ C.]  Or  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b } )
2117, 20jca 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  ->  ( { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b } ) )
22 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( y  =/=  (/)  <->  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  =/=  (/) ) )
23 soeq2 4780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( [ C.]  Or  y  <-> [ C.]  Or  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b } ) )
2422, 23anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  <->  ( { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b } ) ) )
25 inteq 4229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  |^| y  =  |^| { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } )
26 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } )
2725, 26eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  (
|^| y  e.  y  <->  |^| { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } ) )
2824, 27imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  <->  ( ( { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b } )  ->  |^| { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } ) ) )
2928rspcv 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( { c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b }  e.  ~P ~P A  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  ->  (
( { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  =/=  (/) 
/\ [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } )  ->  |^| { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } ) ) )
3013, 14, 21, 29syl3c 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  ->  |^| { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } )
31 sorpssint 6600 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( E. z  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  -.  w  C.  z  <->  |^| { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } ) )
3220, 31syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  ->  ( E. z  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } A. w  e.  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b }  -.  w  C.  z 
<-> 
|^| { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } ) )
3330, 32mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  ->  E. z  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } A. w  e. 
{ c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  -.  w  C.  z )
34 psseq1 3506 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( A  \ 
z )  ->  (
m  C.  n  <->  ( A  \  z )  C.  n
) )
35 psseq1 3506 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( A  \  n )  ->  (
w  C.  z  <->  ( A  \  n )  C.  z
) )
36 pssdifcom1 3844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  A  /\  n  C_  A )  -> 
( ( A  \ 
z )  C.  n  <->  ( A  \  n ) 
C.  z ) )
3734, 35, 36fin23lem11 8765 . . . . . . . 8  |-  ( b 
C_  ~P A  ->  ( E. z  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } A. w  e.  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b }  -.  w  C.  z  ->  E. m  e.  b 
A. n  e.  b  -.  m  C.  n
) )
387, 33, 37sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  ->  E. m  e.  b  A. n  e.  b  -.  m  C.  n )
39 simp3r 1059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  -> [ C.]  Or  b
)
40 sorpssuni 6599 . . . . . . . 8  |-  ( [ C.]  Or  b  ->  ( E. m  e.  b  A. n  e.  b  -.  m  C.  n  <->  U. b  e.  b ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  ->  ( E. m  e.  b  A. n  e.  b  -.  m  C.  n  <->  U. b  e.  b ) )
4238, 41mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
) )  ->  U. b  e.  b )
43423exp 1230 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A )  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  ->  (
( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
)  ->  U. b  e.  b ) ) )
446, 43sylan2 482 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  b  e.  ~P ~P A )  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  ->  (
( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
)  ->  U. b  e.  b ) ) )
4544ralrimdva 2812 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  ->  A. b  e.  ~P  ~P A ( ( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
)  ->  U. b  e.  b ) ) )
46 isfin2 8742 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinII 
<-> 
A. b  e.  ~P  ~P A ( ( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
)  ->  U. b  e.  b ) ) )
4745, 46sylibrd 242 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  ->  A  e. FinII
) )
485, 47impbid2 209 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinII 
<-> 
A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390    C. wpss 3391   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   |^|cint 4226    Or wor 4759   [ C.] crpss 6589  FinIIcfin2 8727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-opab 4455  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-rpss 6590  df-fin2 8734
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