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Theorem isfin2-2 8487
Description: FinII expressed in terms of minimal elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin2-2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinII 
<-> 
A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    y, A
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem isfin2-2
Dummy variables  b 
c  m  n  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3868 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P ~P A  ->  y  C_  ~P A
)
2 fin2i2 8486 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  y  C_ 
~P A )  /\  ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y ) )  ->  |^| y  e.  y
)
32ex 434 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinII  /\  y  C_  ~P A )  ->  (
( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y ) )
41, 3sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e. FinII  /\  y  e.  ~P ~P A )  -> 
( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) )
54ralrimiva 2798 . 2  |-  ( A  e. FinII  ->  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) )
6 elpwi 3868 . . . . 5  |-  ( b  e.  ~P ~P A  ->  b  C_  ~P A
)
7 simp1r 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> 
b  C_  ~P A
)
8 ssrab2 3436 . . . . . . . . . . 11  |-  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } 
C_  ~P A
9 simp1l 1012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  A  e.  V )
10 pwexg 4475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
11 elpw2g 4454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  ~P ~P A 
<->  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  C_  ~P A
) )
129, 10, 113syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> 
( { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  ~P ~P A  <->  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  C_  ~P A ) )
138, 12mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  ~P ~P A )
14 simp2 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) )
15 simp3l 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> 
b  =/=  (/) )
16 fin23lem7 8484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A  /\  b  =/=  (/) )  ->  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  =/=  (/) )
179, 7, 15, 16syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  =/=  (/) )
18 sorpsscmpl 6370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ C.]  Or  b  -> [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b } )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b )  -> [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b } )
20193ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> [ C.]  Or  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } )
2117, 20jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> 
( { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  =/=  (/) 
/\ [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } ) )
22 neeq1 2615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( y  =/=  (/)  <->  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  =/=  (/) ) )
23 soeq2 4660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( [
C.]  Or  y  <-> [ C.]  Or  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b } ) )
2422, 23anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  <->  ( {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b }  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } ) ) )
25 inteq 4130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  |^| y  =  |^| { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } )
26 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } )
2725, 26eleq12d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  (
|^| y  e.  y  <->  |^| { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } ) )
2824, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  <->  ( ( { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } )  ->  |^| { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } ) ) )
2928rspcv 3068 . . . . . . . . . 10  |-  ( { c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b }  e.  ~P ~P A  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  ->  (
( { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  =/=  (/) 
/\ [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } )  ->  |^| { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } ) ) )
3013, 14, 21, 29syl3c 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  |^| { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } )
31 sorpssint 6369 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( E. z  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  -.  w  C.  z  <->  |^| { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } ) )
3220, 31syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> 
( E. z  e. 
{ c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } A. w  e. 
{ c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  -.  w  C.  z 
<-> 
|^| { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } ) )
3330, 32mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  E. z  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } A. w  e.  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b }  -.  w  C.  z )
34 psseq1 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( A  \ 
z )  ->  (
m  C.  n  <->  ( A  \  z )  C.  n
) )
35 psseq1 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( A  \  n )  ->  (
w  C.  z  <->  ( A  \  n )  C.  z
) )
36 pssdifcom1 3763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  A  /\  n  C_  A )  -> 
( ( A  \ 
z )  C.  n  <->  ( A  \  n ) 
C.  z ) )
3734, 35, 36fin23lem11 8485 . . . . . . . 8  |-  ( b 
C_  ~P A  ->  ( E. z  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } A. w  e.  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b }  -.  w  C.  z  ->  E. m  e.  b 
A. n  e.  b  -.  m  C.  n
) )
387, 33, 37sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  E. m  e.  b  A. n  e.  b  -.  m  C.  n )
39 simp3r 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> [ C.]  Or  b )
40 sorpssuni 6368 . . . . . . . 8  |-  ( [ C.]  Or  b  ->  ( E. m  e.  b  A. n  e.  b  -.  m  C.  n  <->  U. b  e.  b ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> 
( E. m  e.  b  A. n  e.  b  -.  m  C.  n 
<-> 
U. b  e.  b ) )
4238, 41mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  U. b  e.  b
)
43423exp 1186 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A )  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  ->  (
( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b )  ->  U. b  e.  b ) ) )
446, 43sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  b  e.  ~P ~P A )  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  ->  (
( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b )  ->  U. b  e.  b ) ) )
4544ralrimdva 2805 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  ->  A. b  e.  ~P  ~P A ( ( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b )  ->  U. b  e.  b ) ) )
46 isfin2 8462 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinII 
<-> 
A. b  e.  ~P  ~P A ( ( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
)  ->  U. b  e.  b ) ) )
4745, 46sylibrd 234 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  ->  A  e. FinII
) )
485, 47impbid2 204 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinII 
<-> 
A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718   _Vcvv 2971    \ cdif 3324    C_ wss 3327    C. wpss 3328   (/)c0 3636   ~Pcpw 3859   U.cuni 4090   |^|cint 4127    Or wor 4639   [ C.] crpss 6358  FinIIcfin2 8447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-br 4292  df-opab 4350  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-rpss 6359  df-fin2 8454
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