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Theorem isfin1-3 8834
Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a maximal subset. Definition I of [Levy58] p. 2. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  Fin  <->  `' [ C.]  Fr  ~P A ) )

Proof of Theorem isfin1-3
Dummy variables  b 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 porpss 6594 . . . 4  |- [ C.]  Po  ~P A
2 cnvpo 5381 . . . 4  |-  ( [ C.]  Po  ~P A  <->  `' [ C.]  Po  ~P A )
31, 2mpbi 213 . . 3  |-  `' [ C.]  Po  ~P A
4 pwfi 7887 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
54biimpi 199 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
6 frfi 7834 . . 3  |-  ( ( `' [ C.]  Po  ~P A  /\  ~P A  e.  Fin )  ->  `' [ C.]  Fr  ~P A )
73, 5, 6sylancr 676 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' [ C.] 
Fr  ~P A )
8 inss2 3644 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  C_  ~P A
9 pwexg 4585 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
10 ssexg 4542 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  C_  ~P A  /\  ~P A  e. 
_V )  ->  ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V )
118, 9, 10sylancr 676 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V )
12 0fin 7817 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Fin
13 0elpw 4570 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ~P A
14 elin 3608 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  <->  ( (/)  e.  Fin  /\  (/)  e.  ~P A ) )
1512, 13, 14mpbir2an 934 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ( Fin  i^i  ~P A
)
1615ne0ii 3729 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  =/=  (/)
17 fri 4801 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  /\  ( ( Fin  i^i  ~P A ) 
C_  ~P A  /\  ( Fin  i^i  ~P A )  =/=  (/) ) )  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A
)  -.  c `' [ C.]  b )
188, 16, 17mpanr12 699 . . . . 5  |-  ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b )
1911, 18sylan 479 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b )
2019ex 441 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' [ C.]  Fr  ~P A  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b ) )
21 inss1 3643 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  C_  Fin
22 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  b  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) )
2321, 22sseldi 3416 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  b  e.  Fin )
24 ralnex 2834 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  ( Fin  i^i 
~P A )  -.  c `' [ C.]  b  <->  -. 
E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) c `' [ C.]  b
)
2521sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  e.  Fin )
2625adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  e.  Fin )
27 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { d }  e.  Fin
28 unfi 7856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  { d }  e.  Fin )  ->  ( b  u. 
{ d } )  e.  Fin )
2926, 27, 28sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  Fin )
30 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  <->  ( b  e.  Fin  /\  b  e. 
~P A ) )
3130simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  e.  ~P A )
3231elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  C_  A )
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  C_  A )
34 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  A  ->  { d }  C_  A )
3534ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  { d }  C_  A )
3633, 35unssd 3601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  C_  A
)
37 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  b  e. 
_V
38 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { d }  e.  _V
3937, 38unex 6608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  u.  { d } )  e.  _V
4039elpw 3948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  u.  { d } )  e.  ~P A 
<->  ( b  u.  {
d } )  C_  A )
4136, 40sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  ~P A )
4229, 41elind 3609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) )
43 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  i^i  { d } )  =  (/)  <->  -.  d  e.  b )
4443biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  d  e.  b  -> 
( b  i^i  {
d } )  =  (/) )
45 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  d  e. 
_V
4645snnz 4081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { d }  =/=  (/)
47 disjpss 3819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  i^i  {
d } )  =  (/)  /\  { d }  =/=  (/) )  ->  b  C.  ( b  u.  {
d } ) )
4844, 46, 47sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  d  e.  b  -> 
b  C.  ( b  u.  { d } ) )
4948ad2antll 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  C.  ( b  u.  {
d } ) )
5039, 37brcnv 5022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  u.  { d } ) `' [ C.]  b  <->  b [ C.]  ( b  u.  {
d } ) )
5139brrpss 6593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b [ C.]  ( b  u.  {
d } )  <->  b  C.  (
b  u.  { d } ) )
5250, 51bitri 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  u.  { d } ) `' [ C.]  b  <->  b 
C.  ( b  u. 
{ d } ) )
5349, 52sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } ) `' [ C.]  b
)
54 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( b  u. 
{ d } )  ->  ( c `' [ C.]  b  <->  ( b  u. 
{ d } ) `' [ C.]  b ) )
5554rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  u.  {
d } )  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  /\  (
b  u.  { d } ) `' [ C.]  b
)  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [ C.]  b )
5642, 53, 55syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [ C.]  b )
5756expr 626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( -.  d  e.  b  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [ C.]  b ) )
5857con1d 129 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( -.  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [ C.]  b  ->  d  e.  b ) )
5924, 58syl5bi 225 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b  ->  d  e.  b ) )
6059impancom 447 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  ( d  e.  A  ->  d  e.  b ) )
6160ssrdv 3424 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  A  C_  b
)
62 ssfi 7810 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  A  C_  b )  ->  A  e.  Fin )
6323, 61, 62syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  A  e.  Fin )
6463rexlimiva 2868 . . 3  |-  ( E. b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i 
~P A )  -.  c `' [ C.]  b  ->  A  e.  Fin )
6520, 64syl6 33 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' [ C.]  Fr  ~P A  ->  A  e.  Fin )
)
667, 65impbid2 209 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  Fin  <->  `' [ C.]  Fr  ~P A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390    C. wpss 3391   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   class class class wbr 4395    Po wpo 4758    Fr wfr 4795   `'ccnv 4838   [ C.] crpss 6589   Fincfn 7587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-rpss 6590  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591
This theorem is referenced by:  isfin1-4  8835  fin12  8861
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