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Theorem isfin1-3 8834
 Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a maximal subset. Definition I of [Levy58] p. 2. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-3 []

Proof of Theorem isfin1-3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 porpss 6594 . . . 4 []
2 cnvpo 5381 . . . 4 [] []
31, 2mpbi 213 . . 3 []
4 pwfi 7887 . . . 4
54biimpi 199 . . 3
6 frfi 7834 . . 3 [] []
73, 5, 6sylancr 676 . 2 []
8 inss2 3644 . . . . . 6
9 pwexg 4585 . . . . . 6
10 ssexg 4542 . . . . . 6
118, 9, 10sylancr 676 . . . . 5
12 0fin 7817 . . . . . . . 8
13 0elpw 4570 . . . . . . . 8
14 elin 3608 . . . . . . . 8
1512, 13, 14mpbir2an 934 . . . . . . 7
1615ne0ii 3729 . . . . . 6
17 fri 4801 . . . . . 6 [] []
188, 16, 17mpanr12 699 . . . . 5 [] []
1911, 18sylan 479 . . . 4 [] []
2019ex 441 . . 3 [] []
21 inss1 3643 . . . . . 6
22 simpl 464 . . . . . 6 []
2321, 22sseldi 3416 . . . . 5 []
24 ralnex 2834 . . . . . . . 8 [] []
2521sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . 14
2625adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
27 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . 13
28 unfi 7856 . . . . . . . . . . . . 13
2926, 27, 28sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12
30 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3130simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3231elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
34 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14
3633, 35unssd 3601 . . . . . . . . . . . . 13
37 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . 15
3937, 38unex 6608 . . . . . . . . . . . . . 14
4039elpw 3948 . . . . . . . . . . . . 13
4136, 40sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12
4229, 41elind 3609 . . . . . . . . . . 11
43 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . 14
45 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645snnz 4081 . . . . . . . . . . . . . 14
47 disjpss 3819 . . . . . . . . . . . . . 14
4844, 46, 47sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13
4948ad2antll 743 . . . . . . . . . . . 12
5039, 37brcnv 5022 . . . . . . . . . . . . 13 [] []
5139brrpss 6593 . . . . . . . . . . . . 13 []
5250, 51bitri 257 . . . . . . . . . . . 12 []
5349, 52sylibr 217 . . . . . . . . . . 11 []
54 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12 [] []
5554rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11 [] []
5642, 53, 55syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 []
5756expr 626 . . . . . . . . 9 []
5857con1d 129 . . . . . . . 8 []
5924, 58syl5bi 225 . . . . . . 7 []
6059impancom 447 . . . . . 6 []
6160ssrdv 3424 . . . . 5 []
62 ssfi 7810 . . . . 5
6323, 61, 62syl2anc 673 . . . 4 []
6463rexlimiva 2868 . . 3 []
6520, 64syl6 33 . 2 []
667, 65impbid2 209 1 []
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cun 3388   cin 3389   wss 3390   wpss 3391  c0 3722  cpw 3942  csn 3959   class class class wbr 4395   wpo 4758   wfr 4795  ccnv 4838   [] crpss 6589  cfn 7587 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-rpss 6590  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591 This theorem is referenced by:  isfin1-4  8835  fin12  8861
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