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Theorem isfin1-3 8766
Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a maximal subset. Definition I of [Levy58] p. 2. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  Fin  <->  `' [ C.]  Fr  ~P A ) )

Proof of Theorem isfin1-3
Dummy variables  b 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 porpss 6568 . . . 4  |- [ C.]  Po  ~P A
2 cnvpo 5545 . . . 4  |-  ( [ C.]  Po  ~P A  <->  `' [ C.]  Po  ~P A )
31, 2mpbi 208 . . 3  |-  `' [ C.]  Po  ~P A
4 pwfi 7815 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
54biimpi 194 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
6 frfi 7765 . . 3  |-  ( ( `' [ C.]  Po  ~P A  /\  ~P A  e.  Fin )  ->  `' [ C.]  Fr  ~P A )
73, 5, 6sylancr 663 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' [ C.] 
Fr  ~P A )
8 inss2 3719 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  C_  ~P A
9 pwexg 4631 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
10 ssexg 4593 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  C_  ~P A  /\  ~P A  e. 
_V )  ->  ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V )
118, 9, 10sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V )
12 0fin 7747 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Fin
13 0elpw 4616 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ~P A
14 elin 3687 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  <->  ( (/)  e.  Fin  /\  (/)  e.  ~P A ) )
1512, 13, 14mpbir2an 918 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ( Fin  i^i  ~P A
)
16 ne0i 3791 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  ( Fin  i^i  ~P A )  =/=  (/) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  =/=  (/)
18 fri 4841 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  /\  ( ( Fin  i^i  ~P A ) 
C_  ~P A  /\  ( Fin  i^i  ~P A )  =/=  (/) ) )  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A
)  -.  c `' [
C.]  b )
198, 17, 18mpanr12 685 . . . . 5  |-  ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b )
2011, 19sylan 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b )
2120ex 434 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' [ C.]  Fr  ~P A  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b ) )
22 inss1 3718 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  C_  Fin
23 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  b  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) )
2422, 23sseldi 3502 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  b  e.  Fin )
25 ralnex 2910 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  ( Fin  i^i 
~P A )  -.  c `' [ C.]  b  <->  -. 
E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) c `' [ C.]  b )
2622sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  e.  Fin )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  e.  Fin )
28 snfi 7596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { d }  e.  Fin
29 unfi 7787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  { d }  e.  Fin )  ->  ( b  u. 
{ d } )  e.  Fin )
3027, 28, 29sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  Fin )
31 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  <->  ( b  e.  Fin  /\  b  e. 
~P A ) )
3231simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  e.  ~P A )
3332elpwid 4020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  C_  A )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  C_  A )
35 snssi 4171 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  A  ->  { d }  C_  A )
3635ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  { d }  C_  A )
3734, 36unssd 3680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  C_  A
)
38 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  b  e. 
_V
39 snex 4688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { d }  e.  _V
4038, 39unex 6582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  u.  { d } )  e.  _V
4140elpw 4016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  u.  { d } )  e.  ~P A 
<->  ( b  u.  {
d } )  C_  A )
4237, 41sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  ~P A )
4330, 42elind 3688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) )
44 disjsn 4088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  i^i  { d } )  =  (/)  <->  -.  d  e.  b )
4544biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  d  e.  b  -> 
( b  i^i  {
d } )  =  (/) )
46 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  d  e. 
_V
4746snnz 4145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { d }  =/=  (/)
48 disjpss 3877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  i^i  {
d } )  =  (/)  /\  { d }  =/=  (/) )  ->  b  C.  ( b  u.  {
d } ) )
4945, 47, 48sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  d  e.  b  -> 
b  C.  ( b  u.  { d } ) )
5049ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  C.  ( b  u.  {
d } ) )
5140, 38brcnv 5185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  u.  { d } ) `' [ C.]  b 
<->  b [ C.]  ( b  u.  { d } ) )
5240brrpss 6567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b [
C.]  ( b  u. 
{ d } )  <-> 
b  C.  ( b  u.  { d } ) )
5351, 52bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  u.  { d } ) `' [ C.]  b 
<->  b  C.  ( b  u.  { d } ) )
5450, 53sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } ) `' [ C.]  b )
55 breq1 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( b  u. 
{ d } )  ->  ( c `' [
C.]  b  <->  ( b  u.  { d } ) `' [ C.]  b ) )
5655rspcev 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  u.  {
d } )  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  /\  (
b  u.  { d } ) `' [ C.]  b )  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b )
5743, 54, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b )
5857expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( -.  d  e.  b  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b ) )
5958con1d 124 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( -.  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b  ->  d  e.  b ) )
6025, 59syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b  ->  d  e.  b ) )
6160impancom 440 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  ( d  e.  A  ->  d  e.  b ) )
6261ssrdv 3510 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  A  C_  b
)
63 ssfi 7740 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  A  C_  b )  ->  A  e.  Fin )
6424, 62, 63syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  A  e.  Fin )
6564rexlimiva 2951 . . 3  |-  ( E. b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i 
~P A )  -.  c `' [ C.]  b  ->  A  e.  Fin )
6621, 65syl6 33 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' [ C.]  Fr  ~P A  ->  A  e.  Fin )
)
677, 66impbid2 204 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  Fin  <->  `' [ C.]  Fr  ~P A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476    C. wpss 3477   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447    Po wpo 4798    Fr wfr 4835   `'ccnv 4998   [ C.] crpss 6563   Fincfn 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-rpss 6564  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520
This theorem is referenced by:  isfin1-4  8767  fin12  8793
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