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Theorem isfin1-3 8576
Description: A set is I-finite iff every system of subsets contains a maximal subset. Definition I of [Levy58] p. 2. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  Fin  <->  `' [ C.]  Fr  ~P A ) )

Proof of Theorem isfin1-3
Dummy variables  b 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 porpss 6385 . . . 4  |- [ C.]  Po  ~P A
2 cnvpo 5396 . . . 4  |-  ( [ C.]  Po  ~P A  <->  `' [ C.]  Po  ~P A )
31, 2mpbi 208 . . 3  |-  `' [ C.]  Po  ~P A
4 pwfi 7627 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
54biimpi 194 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ~P A  e.  Fin )
6 frfi 7578 . . 3  |-  ( ( `' [ C.]  Po  ~P A  /\  ~P A  e.  Fin )  ->  `' [ C.]  Fr  ~P A )
73, 5, 6sylancr 663 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' [ C.] 
Fr  ~P A )
8 inss2 3592 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  C_  ~P A
9 pwexg 4497 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
10 ssexg 4459 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  C_  ~P A  /\  ~P A  e. 
_V )  ->  ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V )
118, 9, 10sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V )
12 0fin 7561 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Fin
13 0elpw 4482 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ~P A
14 elin 3560 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  <->  ( (/)  e.  Fin  /\  (/)  e.  ~P A ) )
1512, 13, 14mpbir2an 911 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ( Fin  i^i  ~P A
)
16 ne0i 3664 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  ( Fin  i^i  ~P A )  =/=  (/) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  =/=  (/)
18 fri 4703 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  /\  ( ( Fin  i^i  ~P A ) 
C_  ~P A  /\  ( Fin  i^i  ~P A )  =/=  (/) ) )  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A
)  -.  c `' [
C.]  b )
198, 17, 18mpanr12 685 . . . . 5  |-  ( ( ( Fin  i^i  ~P A )  e.  _V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b )
2011, 19sylan 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  `' [ C.]  Fr  ~P A
)  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b )
2120ex 434 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' [ C.]  Fr  ~P A  ->  E. b  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b ) )
22 inss1 3591 . . . . . 6  |-  ( Fin 
i^i  ~P A )  C_  Fin
23 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  b  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) )
2422, 23sseldi 3375 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  b  e.  Fin )
25 ralnex 2746 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  ( Fin  i^i 
~P A )  -.  c `' [ C.]  b  <->  -. 
E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) c `' [ C.]  b )
2622sseli 3373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  e.  Fin )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  e.  Fin )
28 snfi 7411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { d }  e.  Fin
29 unfi 7600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  { d }  e.  Fin )  ->  ( b  u. 
{ d } )  e.  Fin )
3027, 28, 29sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  Fin )
31 elin 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  <->  ( b  e.  Fin  /\  b  e. 
~P A ) )
3231simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  e.  ~P A )
3332elpwid 3891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  ->  b  C_  A )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  C_  A )
35 snssi 4038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  A  ->  { d }  C_  A )
3635ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  { d }  C_  A )
3734, 36unssd 3553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  C_  A
)
38 vex 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  b  e. 
_V
39 snex 4554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { d }  e.  _V
4038, 39unex 6399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  u.  { d } )  e.  _V
4140elpw 3887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  u.  { d } )  e.  ~P A 
<->  ( b  u.  {
d } )  C_  A )
4237, 41sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  ~P A )
4330, 42elind 3561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } )  e.  ( Fin  i^i  ~P A
) )
44 disjsn 3957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  i^i  { d } )  =  (/)  <->  -.  d  e.  b )
4544biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  d  e.  b  -> 
( b  i^i  {
d } )  =  (/) )
46 vex 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  d  e. 
_V
4746snnz 4014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { d }  =/=  (/)
48 disjpss 3750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  i^i  {
d } )  =  (/)  /\  { d }  =/=  (/) )  ->  b  C.  ( b  u.  {
d } ) )
4945, 47, 48sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  d  e.  b  -> 
b  C.  ( b  u.  { d } ) )
5049ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  b  C.  ( b  u.  {
d } ) )
5140, 38brcnv 5043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  u.  { d } ) `' [ C.]  b 
<->  b [ C.]  ( b  u.  { d } ) )
5240brrpss 6384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b [
C.]  ( b  u. 
{ d } )  <-> 
b  C.  ( b  u.  { d } ) )
5351, 52bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  u.  { d } ) `' [ C.]  b 
<->  b  C.  ( b  u.  { d } ) )
5450, 53sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  (
b  u.  { d } ) `' [ C.]  b )
55 breq1 4316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( b  u. 
{ d } )  ->  ( c `' [
C.]  b  <->  ( b  u.  { d } ) `' [ C.]  b ) )
5655rspcev 3094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  u.  {
d } )  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  /\  (
b  u.  { d } ) `' [ C.]  b )  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b )
5743, 54, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  ( d  e.  A  /\  -.  d  e.  b ) )  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b )
5857expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( -.  d  e.  b  ->  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b ) )
5958con1d 124 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( -.  E. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A ) c `' [
C.]  b  ->  d  e.  b ) )
6025, 59syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  d  e.  A )  ->  ( A. c  e.  ( Fin  i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b  ->  d  e.  b ) )
6160impancom 440 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  ( d  e.  A  ->  d  e.  b ) )
6261ssrdv 3383 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  A  C_  b
)
63 ssfi 7554 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  A  C_  b )  ->  A  e.  Fin )
6424, 62, 63syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  /\  A. c  e.  ( Fin 
i^i  ~P A )  -.  c `' [ C.]  b
)  ->  A  e.  Fin )
6564rexlimiva 2857 . . 3  |-  ( E. b  e.  ( Fin 
i^i  ~P A ) A. c  e.  ( Fin  i^i 
~P A )  -.  c `' [ C.]  b  ->  A  e.  Fin )
6621, 65syl6 33 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' [ C.]  Fr  ~P A  ->  A  e.  Fin )
)
677, 66impbid2 204 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  Fin  <->  `' [ C.]  Fr  ~P A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 2993    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349    C. wpss 3350   (/)c0 3658   ~Pcpw 3881   {csn 3898   class class class wbr 4313    Po wpo 4660    Fr wfr 4697   `'ccnv 4860   [ C.] crpss 6380   Fincfn 7331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-rpss 6381  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335
This theorem is referenced by:  isfin1-4  8577  fin12  8603
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