MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin1-2 Structured version   Unicode version

Theorem isfin1-2 8660
Description: A set is finite in the usual sense iff the power set of its power set is Dedekind finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-2  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e. FinIV )

Proof of Theorem isfin1-2
StepHypRef Expression
1 elex 3081 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  _V )
2 elex 3081 . . 3  |-  ( ~P ~P A  e. FinIV  ->  ~P ~P A  e.  _V )
3 pwexb 6492 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P A  e.  _V )
4 pwexb 6492 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  <->  ~P ~P A  e.  _V )
53, 4bitri 249 . . 3  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P ~P A  e.  _V )
62, 5sylibr 212 . 2  |-  ( ~P ~P A  e. FinIV  ->  A  e.  _V )
7 ominf 7631 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  Fin
8 pwfi 7712 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
9 pwfi 7712 . . . . . . . 8  |-  ( ~P A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e.  Fin )
108, 9bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e.  Fin )
11 domfi 7640 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P ~P A  e. 
Fin  /\  om  ~<_  ~P ~P A )  ->  om  e.  Fin )
1211expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  ~P ~P A  -> 
( ~P ~P A  e.  Fin  ->  om  e.  Fin ) )
1310, 12syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  ~P ~P A  -> 
( A  e.  Fin  ->  om  e.  Fin )
)
147, 13mtoi 178 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  ~P ~P A  ->  -.  A  e.  Fin )
15 fineqvlem 7633 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  om  ~<_  ~P ~P A )
1615ex 434 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  om  ~<_  ~P ~P A ) )
1714, 16impbid2 204 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( om 
~<_  ~P ~P A  <->  -.  A  e.  Fin ) )
1817con2bid 329 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  -.  om  ~<_  ~P ~P A ) )
19 isfin4-2 8589 . . . 4  |-  ( ~P ~P A  e.  _V  ->  ( ~P ~P A  e. FinIV  <->  -. 
om  ~<_  ~P ~P A ) )
205, 19sylbi 195 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( ~P ~P A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  ~P ~P A ) )
2118, 20bitr4d 256 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e. FinIV ) )
221, 6, 21pm5.21nii 353 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e. FinIV )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    e. wcel 1758   _Vcvv 3072   ~Pcpw 3963   class class class wbr 4395   omcom 6581    ~<_ cdom 7413   Fincfn 7415  FinIVcfin4 8555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fin4 8562
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator