Theorem isfin1-2 8756

Description: A set is finite in the usual sense iff the power set of its power set is Dedekind finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-2	|- ( A e. Fin <-> ~P ~P A e. FinIV )

Proof of Theorem isfin1-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3115	. 2 |- ( A e. Fin -> A e. _V )
2		elex 3115	. . 3 |- ( ~P ~P A e. FinIV -> ~P ~P A e. _V )
3		pwexb 6584	. . . 4 |- ( A e. _V <-> ~P A e. _V )
4		pwexb 6584	. . . 4 |- ( ~P A e. _V <-> ~P ~P A e. _V )
5	3, 4	bitri 249	. . 3 |- ( A e. _V <-> ~P ~P A e. _V )
6	2, 5	sylibr 212	. 2 |- ( ~P ~P A e. FinIV -> A e. _V )
7		ominf 7725	. . . . . 6 |- -. om e. Fin
8		pwfi 7807	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin <-> ~P A e. Fin )
9		pwfi 7807	. . . . . . . 8 |- ( ~P A e. Fin <-> ~P ~P A e. Fin )
10	8, 9	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( A e. Fin <-> ~P ~P A e. Fin )
11		domfi 7734	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P ~P A e. Fin /\ om ~<_ ~P ~P A ) -> om e. Fin )
12	11	expcom 433	. . . . . . 7 |- ( om ~<_ ~P ~P A -> ( ~P ~P A e. Fin -> om e. Fin ) )
13	10, 12	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( om ~<_ ~P ~P A -> ( A e. Fin -> om e. Fin ) )
14	7, 13	mtoi 178	. . . . 5 |- ( om ~<_ ~P ~P A -> -. A e. Fin )
15		fineqvlem 7727	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ -. A e. Fin ) -> om ~<_ ~P ~P A )
16	15	ex 432	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( -. A e. Fin -> om ~<_ ~P ~P A ) )
17	14, 16	impbid2 204	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( om ~<_ ~P ~P A <-> -. A e. Fin ) )
18	17	con2bid 327	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. Fin <-> -. om ~<_ ~P ~P A ) )
19		isfin4-2 8685	. . . 4 |- ( ~P ~P A e. _V -> ( ~P ~P A e. FinIV <-> -. om ~<_ ~P ~P A ) )
20	5, 19	sylbi 195	. . 3 |- ( A e. _V -> ( ~P ~P A e. FinIV <-> -. om ~<_ ~P ~P A ) )
21	18, 20	bitr4d 256	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. Fin <-> ~P ~P A e. FinIV ) )
22	1, 6, 21	pm5.21nii 351	1 |- ( A e. Fin <-> ~P ~P A e. FinIV )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   e. wcel 1823   _Vcvv 3106   ~Pcpw 3999   class class class wbr 4439   omcom 6673   ~<_ cdom 7507   Fincfn 7509  Fin^IVcfin4 8651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fin4 8658

This theorem is referenced by: (None)