Theorem isfin1-2 8660

Description: A set is finite in the usual sense iff the power set of its power set is Dedekind finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin1-2	|- ( A e. Fin <-> ~P ~P A e. FinIV )

Proof of Theorem isfin1-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3081	. 2 |- ( A e. Fin -> A e. _V )
2		elex 3081	. . 3 |- ( ~P ~P A e. FinIV -> ~P ~P A e. _V )
3		pwexb 6492	. . . 4 |- ( A e. _V <-> ~P A e. _V )
4		pwexb 6492	. . . 4 |- ( ~P A e. _V <-> ~P ~P A e. _V )
5	3, 4	bitri 249	. . 3 |- ( A e. _V <-> ~P ~P A e. _V )
6	2, 5	sylibr 212	. 2 |- ( ~P ~P A e. FinIV -> A e. _V )
7		ominf 7631	. . . . . 6 |- -. om e. Fin
8		pwfi 7712	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin <-> ~P A e. Fin )
9		pwfi 7712	. . . . . . . 8 |- ( ~P A e. Fin <-> ~P ~P A e. Fin )
10	8, 9	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( A e. Fin <-> ~P ~P A e. Fin )
11		domfi 7640	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P ~P A e. Fin /\ om ~<_ ~P ~P A ) -> om e. Fin )
12	11	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( om ~<_ ~P ~P A -> ( ~P ~P A e. Fin -> om e. Fin ) )
13	10, 12	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( om ~<_ ~P ~P A -> ( A e. Fin -> om e. Fin ) )
14	7, 13	mtoi 178	. . . . 5 |- ( om ~<_ ~P ~P A -> -. A e. Fin )
15		fineqvlem 7633	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ -. A e. Fin ) -> om ~<_ ~P ~P A )
16	15	ex 434	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( -. A e. Fin -> om ~<_ ~P ~P A ) )
17	14, 16	impbid2 204	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( om ~<_ ~P ~P A <-> -. A e. Fin ) )
18	17	con2bid 329	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. Fin <-> -. om ~<_ ~P ~P A ) )
19		isfin4-2 8589	. . . 4 |- ( ~P ~P A e. _V -> ( ~P ~P A e. FinIV <-> -. om ~<_ ~P ~P A ) )
20	5, 19	sylbi 195	. . 3 |- ( A e. _V -> ( ~P ~P A e. FinIV <-> -. om ~<_ ~P ~P A ) )
21	18, 20	bitr4d 256	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. Fin <-> ~P ~P A e. FinIV ) )
22	1, 6, 21	pm5.21nii 353	1 |- ( A e. Fin <-> ~P ~P A e. FinIV )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   e. wcel 1758   _Vcvv 3072   ~Pcpw 3963   class class class wbr 4395   omcom 6581   ~<_ cdom 7413   Fincfn 7415  Fin^IVcfin4 8555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fin4 8562

This theorem is referenced by: (None)