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Theorem isfin1-2 8756
Description: A set is finite in the usual sense iff the power set of its power set is Dedekind finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-2  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e. FinIV )

Proof of Theorem isfin1-2
StepHypRef Expression
1 elex 3115 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  _V )
2 elex 3115 . . 3  |-  ( ~P ~P A  e. FinIV  ->  ~P ~P A  e.  _V )
3 pwexb 6584 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P A  e.  _V )
4 pwexb 6584 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  <->  ~P ~P A  e.  _V )
53, 4bitri 249 . . 3  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P ~P A  e.  _V )
62, 5sylibr 212 . 2  |-  ( ~P ~P A  e. FinIV  ->  A  e.  _V )
7 ominf 7725 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  Fin
8 pwfi 7807 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
9 pwfi 7807 . . . . . . . 8  |-  ( ~P A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e.  Fin )
108, 9bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e.  Fin )
11 domfi 7734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P ~P A  e. 
Fin  /\  om  ~<_  ~P ~P A )  ->  om  e.  Fin )
1211expcom 433 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  ~P ~P A  -> 
( ~P ~P A  e.  Fin  ->  om  e.  Fin ) )
1310, 12syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  ~P ~P A  -> 
( A  e.  Fin  ->  om  e.  Fin )
)
147, 13mtoi 178 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  ~P ~P A  ->  -.  A  e.  Fin )
15 fineqvlem 7727 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  om  ~<_  ~P ~P A )
1615ex 432 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  om  ~<_  ~P ~P A ) )
1714, 16impbid2 204 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( om 
~<_  ~P ~P A  <->  -.  A  e.  Fin ) )
1817con2bid 327 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  -.  om  ~<_  ~P ~P A ) )
19 isfin4-2 8685 . . . 4  |-  ( ~P ~P A  e.  _V  ->  ( ~P ~P A  e. FinIV  <->  -. 
om  ~<_  ~P ~P A ) )
205, 19sylbi 195 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( ~P ~P A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  ~P ~P A ) )
2118, 20bitr4d 256 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e. FinIV ) )
221, 6, 21pm5.21nii 351 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e. FinIV )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   ~Pcpw 3999   class class class wbr 4439   omcom 6673    ~<_ cdom 7507   Fincfn 7509  FinIVcfin4 8651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fin4 8658
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